문서:삼각함수/역도함수

분류

1. 개요2. 기본3. 거듭제곱꼴

3.1. 거듭제곱근꼴3.2. 정적분

4. [[절댓값]] 합성함수의 적분

4.1. 절댓값이 피합성함수인 경우4.2. 삼각함수가 피합성함수인 경우

5. [[특수함수]]

5.1. [[삼각 적분 함수|사인 적분 함수, 코사인 적분 함수]]5.2. [[프레넬 적분 함수|프레넬 사인 적분 함수, 프레넬 코사인 적분 함수]]5.3. [[폴리로그함수]]5.4. [[초기하함수]]

6. 관련 문서

1. 개요

삼각함수의 역도함수(적분)를 설명하는 문서이다.

2. 기본

아래 식에서 [math(mathsf{const.})]는 적분상수이다.

[math(displaystyle int sin x, mathrm{d}x = -cos x + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int cos x, mathrm{d}x = sin x + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int tan x, mathrm{d}x = -ln left|cos xright| + mathsf{const.} = lnleft|sec xright| + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int sec x, mathrm{d}x = ln left|sec x + tan xright| + mathsf{const.} = mathrm{igd},x + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int csc x, mathrm{d}x = -ln left|csc x + cot xright| + mathsf{const.} = ln left|csc x - cot xright| + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int cot x, mathrm{d}x = ln left|sin xright| + mathsf{const.})]

위 식에서 [math(mathrm{igd})]는 구데르만 역함수(Inverse Gudermannian function)이다.

참고로, 교과서에서는 삼각함수의 부정적분을 미분 공식을 거꾸로 한 형태만 가르친다. 즉, 사인과 코사인의 적분을 제외하고는 엄밀하게 말하면 교육과정 외의 범위라서 교과서에서는 찾아볼 수 없는 공식들이다. 하지만 나머지 네 개 모두 치환적분을 이용하여 쉽게 증명할 수 있으니 미적분(2015 개정 교육과정)을 공부한다면 한 번 해보자. ~~물론 문제로도 자주 나온다.~~

기본적인 여섯 개의 삼각함수 적분법은 위와 같지만, 적분에서는 미분에서의 연쇄 법칙과 같은 정리가 존재하지 않기 때문에, 삼각함수를 적분하는 수많은 공식이 존재한다.

3. 거듭제곱꼴

하나의 삼각함수가 여러 번 거듭제곱된 식을 적분하는 공식. 일반적으로 적분 상수는 쓰지 않는데 차수를 낮춘 적분식에 포함된 것으로 간주하기 때문이다.

[math(displaystyle int sin^nx, mathrm{d}x = -frac{cos x sin^{n-1}x}n + frac{n-1}n int sin^{n-2}x, mathrm{d}x,~nge1)]
[math(displaystyle int cos^nx, mathrm{d}x = frac{sin x cos^{n-1}x}n + frac{n-1}n int cos^{n-2}x, mathrm{d}x,~nge1)]
[math(displaystyle int tan^nx, mathrm{d}x = frac{tan^{n-1}x}{n-1} - int tan^{n-2}x, mathrm{d}x,~n>1)]
[math(displaystyle int sec^nx, mathrm{d}x = frac{sin x sec^{n-1}x}{n-1} + frac{n-2}{n-1} int sec^{n-2}x, mathrm{d}x,~n>1)]
[math(displaystyle int csc^nx, mathrm{d}x = -frac{cos x csc^{n-1}x}{n-1} + frac{n-2}{n-1} int csc^{n-2}x, mathrm{d}x,~n>1)]
[math(displaystyle int cot^nx, mathrm{d}x = -frac{cot^{n-1}x}{n-1} - int cot^{n-2}x, mathrm{d}x,~n>1)]

부분적분 공식을 이용하면 모두 증명 가능한 공식들이다.

사실 이 적분법은 삼각함수가 아니더라도 각종 함수의 거듭제곱 형태를 적분하는 모든 적분법에 적용 가능하며 이를 Reduction Formula라고 한다.

3.1. 거듭제곱근꼴

삼각함수의 [math(n)]제곱근 꼴을 적분하는 공식이다. 하지만 이런 꼴을 보기 힘들고, 결과에 초기하함수가 나와서 유용하지 않다.

[math(displaystyle int sqrt[n]{sin x} mathrm{d}x = dfrac{nsqrt{cos^2 x}sec x sin^{1/n +1} {}_2 F_{1}({frac{1}{2}, frac{1}{2} (1+ n^{-1}); frac{1}{2} (3+n^{-1}); sin^2 x})}{n+1} +sf const.)]
[math(displaystyle int sqrt[n]{sin x} mathrm{d}x =- dfrac{nsqrt{sin^2 x}csc x cos^{1/n +1} {}_2 F_{1}({frac{1}{2}, frac{1}{2} (1+ n^{-1}); frac{1}{2} (3+n^{-1}); cos^2 x})}{n+1} +sf const.)]

3.2. 정적분

사인함수와 코사인함수를 자연수로 거듭제곱한 꼴의 식을 [math(0)]부터 [math(dfracpi2)]까지 정적분하는 공식. 계산량을 상당히 줄여준다. 학생들에게 도움이 될…지도? 이 식은 초구의 초부피를 초구면 좌표계 형식으로 구하는 방법에도 효과적으로 쓰인다. 아래 식에서 [math(!!)]은 이중 계승으로서

[math(displaystyle n!! = prod_{k=0}^{leftlceil n/2 rightrceil-1}left(n-2kright) = nleft(n-2right)left(n-4right)cdots)]

즉 [math(n)]부터 [math(2)]씩 빼서 [math(2)] 혹은 [math(1)]까지 차례로 곱하라는 기호이며, [math(delta)]는 크로네커 델타, [math(left{cdotright})]는 톱니파 함수로 바닥함수 [math(leftlfloorcdotrightrfloor)]에 대해 [math(left{xright} = x - leftlfloor xrightrfloor)], 즉 [math(x)]의 소수 부분만을 취하는 함수이다.

[math(displaystyle int_0^{pi/2} sin^nx, mathrm{d}x = int_0^{pi/2} cos^nx, mathrm{d}x = dfrac{(n-1)!!}{n!!}left(dfracpi2right)^{delta_{0, left{frac n2right}}})]

4. 절댓값 합성함수의 적분

아래 식에서 [math(mathrm{sgn},x)]는 [math(x)]의 부호를 가져오는 부호 함수(Signum Function)이다.

4.1. 절댓값이 피합성함수인 경우

[math(displaystyle int sin |x|, mathrm{d}x = (1- cos x)mathrm{sgn},x + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int cos |x|, mathrm{d}x = sin x+ mathsf{const.})]
[math(displaystyle int tan |x|, mathrm{d}x = (ln | sec x |) mathrm{sgn},x + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int sec |x|, mathrm{d}x = ln | tan x + sec x | + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int csc |x|, mathrm{d}x = (ln | cot x - csc x |)mathrm{sgn},x + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int cot |x|, mathrm{d}x = (ln | sin x |)mathrm{sgn},x + mathsf{const.})]

4.2. 삼각함수가 피합성함수인 경우

아래 식에서 [math(lfloor cdot rfloor)]는 바닥함수이다.

[math(displaystyle int left|sin xright| mathrm{d}x = 2leftlfloorfrac xpirightrfloor -cosleft(x - leftlfloorfrac xpi rightrfloorpiright) + mathsf{const.})][3]로 나타낼 수도 있겠으나, 이럴 경우 [math(x=npi)]에서 미분이 불가능하다는 문제가 생긴다(완전히 불가능한 건 아니다. 하지만...). 이는 아래 [math(left|cos xright|)]의 적분도 마찬가지.]
[math(displaystyle int left|cos xright| mathrm{d}x = 2leftlfloorfrac xpi + frac12rightrfloor + sinleft(x - leftlfloorfrac xpi + frac12 rightrfloorpiright) + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int left| tan x right| mathrm{d}x = -(mathrm{sgn} circ tan)(x) ln left| cos x right| + mathsf{const.})] (단, [math(|x| < n pi - dfrac{pi}{2})] )
[math(displaystyle int left| sec x right| , mathrm{d}x = mathrm{sgn}left(sec xright) ln left|sec x + tan xright| + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int left| csc x right| , mathrm{d}x = -mathrm{sgn}left(csc xright) ln left|csc x + cot xright| + mathsf{const.} = mathrm{sgn}left(csc xright) ln left|csc x - cot xright| + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int left| cot x right| , mathrm{d}x = mathrm{sgn}left(cot xright) ln left|sin xright| + mathsf{const.})] (단, [math(|x| < n pi - dfrac{pi}{2})] )

5. 특수함수

일부 형태는 초등함수로 적분이 불가능하다.

5.1. 사인 적분 함수, 코사인 적분 함수

[math(displaystyle int frac{sin x}x, mathrm{d}x = mathrm{Si}(x) + mathsf{const.} = int_0^x frac{sin t}t,mathrm{d}t + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int frac{cos x}x, mathrm{d}x = mathrm{Ci}(x) + mathsf{const.} = -int_x^infty frac{cos t}t,mathrm{d}t + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int sin e^x,mathrm{d}x = mathrm{Si}(e^x) + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int cos e^x,mathrm{d}x = mathrm{Ci}(e^x) + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int sin x ln x,mathrm{d}x = mathrm{Ci}(x) - cos x ln x + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int cos x ln x,mathrm{d}x = -mathrm{Si}(x)+ sin x ln x + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int sin(x^{-1}) = -mathrm{Ci}(x^{-1}) + x sin(x^{-1}) + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int cos(x^{-1}) = mathrm{Si}(x^{-1}) + x cos(x^{-1}) + mathsf{const.})]

5.2. 프레넬 사인 적분 함수, 프레넬 코사인 적분 함수

[math(displaystyle int sin x^2 , mathrm{d}x = S(x) + mathsf{const.} = int_0^x sin t^2,mathrm{d}t + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int cos x^2 , mathrm{d}x = C(x) + mathsf{const.} = int_0^x cos t^2,mathrm{d}t + mathsf{const.})]

프레넬 적분 함수를 [math(sin t^2 ,, cos t^2)]의 적분이 아닌 [math(sin^2 dfrac{pi}{2} t ,, cos^2 dfrac{pi}{2} t)]의 적분으로 정의하기도 하는데 이때는 다음과 같다.

[math(displaystyle int sin x^2 , mathrm{d}x = sqrt{dfrac{pi}{2}}Sbiggl(sqrt{dfrac{2}{pi}}xbiggr) + mathsf{const.} =sqrt{dfrac{pi}{2}} int_0^x sin^2 sqrt{dfrac{pi}{2}} t,mathrm{d}t + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int cos x^2 , mathrm{d}x = sqrt{dfrac{pi}{2}}Cbiggl(sqrt{dfrac{2}{pi}}xbiggr) + mathsf{const.} =sqrt{dfrac{pi}{2}} int_0^x cos^2 sqrt{dfrac{pi}{2}} t,mathrm{d}t + mathsf{const.})]

5.3. 폴리로그함수

[math(displaystyle int x tan x,mathrm{d}x = frac i2[mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x{x+2i ln(1+e^{2ix})}]+ mathsf{const.})]
[math(displaystyle int x csc x,mathrm{d}x = -2i,mathrm{Li}_2(e^{ix}) + frac i2mathrm{Li}_2(e^{2ix}) - 2x,mathrm{artanh},e^{ix} + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int x sec x,mathrm{d}x = i{mathrm{Li}_2(-ie^{ix}) - mathrm{Li}_2(ie^{ix}) - 2xarctan e^{ix}} + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int x cot x,mathrm{d}x = xln(1-e^{2ix}) - frac12i{x^2+mathrm{Li}_2(e^{2ix})}+ mathsf{const.})]

5.4. 초기하함수

[math(displaystyle int e^x tan x,mathrm{d}x = ie^x{}_2F_1left(-frac i2,~1;~1-frac i2;~-e^{2ix}right) - frac{2 + i}5 e^{left(1+2iright)x}{}_2F_1left(1,~1-frac i2;~2-frac i2;~-e^{2ix}right) + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int e^x csc x,mathrm{d}x = -left(1+iright) e^{left(1+iright)x} {}_2F_1left(frac{1-i}2,~1;~frac{3-i}2;~e^{2ix}right) + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int e^x sec x,mathrm{d}x = left(1-iright) e^{left(1+iright)x} {}_2F_1left(frac{1-i}2,~1;~frac{3-i}2;~-e^{2ix}right) + mathsf{const.})]
[math(displaystyle int e^x cot x,mathrm{d}x = -ie^x {}_2F_1left(-frac i2,~1;~1-frac i2;~e^{2ix}right) - frac{2+i}5 e^{left(1+2iright)x} {}_2 F_1left(1,~1-frac i2;~2-frac i2;~e^{2ix}right) + mathsf{const.})]

6. 관련 문서

부정적분
- 부정적분표

[1] 단순히 부호 함수를 이용해서 [math(-mathrm{sgn}left(sin xright)cos x + mathsf{const.})[2] 단순히 부호 함수를 이용해서 [math(-mathrm{sgn}left(sin xright)cos x + mathsf{const.})[3] 단순히 부호 함수를 이용해서 [math(-mathrm{sgn}left(sin xright)cos x + mathsf{const.})