1. 개요
四面體, Tetrahedron
한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 네 개의 삼각형면으로 이루어진 다면체. 가장 적은 수의 면으로 구성된 다면체인 단체(simplex)[1]로, 삼각뿔이라고도 불린다. 면들이 모두 정삼각형일 경우 정사면체라고 부른다. 정사면체 단독으로만은 정육면체와 같이 공간을 빈틈 없이 공간을 채울 수 없으나, 정팔면체의 면과 정사면체의 면을 이어붙이는 방식으로 함께 배열할 경우 공간을 빈틈 없이 채울 수 있다. 무게중심이 정육면체보다 아래에 있어서 더 안정적이다.
한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 네 개의 삼각형면으로 이루어진 다면체. 가장 적은 수의 면으로 구성된 다면체인 단체(simplex)[1]로, 삼각뿔이라고도 불린다. 면들이 모두 정삼각형일 경우 정사면체라고 부른다. 정사면체 단독으로만은 정육면체와 같이 공간을 빈틈 없이 공간을 채울 수 없으나, 정팔면체의 면과 정사면체의 면을 이어붙이는 방식으로 함께 배열할 경우 공간을 빈틈 없이 채울 수 있다. 무게중심이 정육면체보다 아래에 있어서 더 안정적이다.
2. 정사면체
정다면체중 하나인 정사면체의 모습.
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2.1. 정사면체에 대한 정보
단위/특성
| 개수
| 비고
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{3,3}
| ||
꼭짓점(vertex, 0차원)
| 4
| |
모서리(edge), 1차원)
| 6
| |
면(face, 2차원)
| 4
| |
쌍대
| ||
정삼각뿔(Equilateral triangular Pyramid)
3-단체(3-Simplex) |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정사면체가 있을 때
- 높이(height)[10] = [math(displaystylefrac{sqrt{6}}{3}a)]
- 외접구의 반지름 = [math(displaystylefrac{sqrt{6}}{4}a)][A]이므로 외접구의 반지름과 내접구의 반지름은 정사면체의 높이를 3:1로 내분한다. 따라서 외접구의 반지름은 정사면체 높이의 [math(displaystylefrac{3}{4})]이고, 내접구의 반지름은 정사면체 높이의 [math(displaystylefrac{1}{4})]이다.]
- 내접구의 반지름 = [math(displaystylefrac{sqrt{6}}{12}a)][A]
- 총 모서리 길이(total edge length) = [math(6a)]
- 겉넓이(surface area) = [math(sqrt{3}a^2)]
- 부피(volume) = [math(displaystylefrac{sqrt{2}}{12}a^3)]
2.2. 다른 정다면체들과의 관계
- 정사면체의 꼭짓점에서 모서리들의 절반 지점에 있는 점들을 이은 4개의 면들로 잘라내면 정팔면체가 만들어진다.
- 정육면체의 8개 꼭지점 중에서 서로 이웃하지 않은 꼭짓점을 이은 선분으로 이루어진 도형은 정사면체이다.
2.3. 여담
3. 현실에서의 예시
[1] 유클리드 기하학에서는 3개 이하의 면으로는 절대로 다면체를 만들 수 없다.[2] 복수는 regular tetrahedra[3] 반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우[4] 반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름.[5] 반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우[6] 반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름.[7] 한 면에서 반대쪽 꼭짓점까지의 거리[A] 8.1 8.2 8.3 8.4 정사면체의 각 꼭짓점에서 마주보는 면에 수선의 발을 그으면, 모든 수선이 한 점에서 만난다. 밑면 높이의 일부 및 정사면체 높이의 전체를 이루는 선분으로 구성된 직각삼각형과 옆면 높이의 일부 및 정사면체 높이의 일부를 이루는 선분으로 구성된 직각삼각형은 서로 AA 닮음(직각 및 그 외의 공통각)이다. 정사면체의 이면각은 익히 알려져있다시피 [math(arccos(displaystylefrac{1}{3}))[10] 한 면에서 반대쪽 꼭짓점까지의 거리[13] 어떤 다면체의 꼭짓점을 면으로, 면을 꼭짓점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[14] 정사면체는 한 꼭지점에 세 개의 정삼각형이 만나기 때문에 {3, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 세 개 만나는 도형인 자기 자신{3, 3}과 쌍대인 것은 당연하다.[15] 정사면체 뿐만 아니라 모든 다각뿔의 쌍대 다면체 또한 자기 자신이다.[16] 어떤 다면체의 꼭짓점을 면으로, 면을 꼭짓점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[17] 정사면체는 한 꼭지점에 세 개의 정삼각형이 만나기 때문에 {3, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 세 개 만나는 도형인 자기 자신{3, 3}과 쌍대인 것은 당연하다.[18] 정사면체 뿐만 아니라 모든 다각뿔의 쌍대 다면체 또한 자기 자신이다.[19] cosθ=1/3. 이 정도는 머릿속에 집어넣자.[20] SiH4, 규화수소[21] AsH3, 비화수소[22] SiH4, 규화수소[23] AsH3, 비화수소