1. 개요
2. 정의역과 치역
무리함수에는 근호가 포함되어 있고, 근호 안에는 음수가 올 수 없기 때문에 [math(f(x)=sqrt{ax+b}+c)] (단, [math(a>0)])에 대하여 정의역은
[math( displaystyle left{biggl. x biggr|x geq -frac{b}{a},,x in mathbb{R} right } )]
를 만족시켜야 하고, 치역은
[math( displaystyle { f(x)|f(x) geq c,,f(x) in mathbb{R} } )]
이 된다. 특히 [math(b=c=0)]일 때, 함수의 꼴은 [math(f(x)=sqrt{ax})]가 되고,
[math( displaystyle left{biggl. x biggr|x geq -frac{b}{a},,x in mathbb{R} right } )]
를 만족시켜야 하고, 치역은
[math( displaystyle { f(x)|f(x) geq c,,f(x) in mathbb{R} } )]
이 된다. 특히 [math(b=c=0)]일 때, 함수의 꼴은 [math(f(x)=sqrt{ax})]가 되고,
- 정의역은 [math( displaystyle { x|x geq 0,,x in mathbb{R} } )]이다.
- 치역은 [math( displaystyle { f(x)|f(x) geq 0,,f(x) in mathbb{R} } )]이다.
3. 그래프
무리함수 [math(y=pm sqrt{ax+b}+c)]의 그래프의 성질은 다음과 같다.
- 위 문단에서 무리함수의 역함수가 이차함수임을 밝혔으므로 포물선의 일부이다.
- 그래프의 시작점은 [math(left( -dfrac{b}{a},,c right))]이다.
- [math(|a|)]값이 작을수록 그래프는 직선 [math(y=c)]에서 가까워진다.
모든 무리함수의 그래프는 평행이동을 통하여 [math(y=pm sqrt{pm ax})] 형태로 바꿀 수 있으므로 이 함수들의 그래프만 따져보면 된다. 다음은 무리함수 [math(y=pm sqrt{pm ax};(a>0))]의 그래프이다.
파일:나무_무리함수_그래프_11.png
무리함수 [math(y=pm sqrt{ax+b}+c)]의 그래프는 [math(y=pm sqrt{ax})]를 평행이동하면 된다. 예시로 [math(y=sqrt{-2x-4}+3)]은 [math(y=sqrt{2x})]를 [math(y)]축에 대하여 대칭이동 한 후 [math(x)]축 방향으로 [math(-2)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(3)]만큼 평행이동한 것이므로 그래프는 아래와 같다.
파일:나무_무리함수_그래프_예시.png
3.1. 대칭이동
무리함수 [math(f(x)=sqrt{ax+b}+c)] (단, [math(a>0)])는
[math( displaystyle f(x)=sqrt{aleft(x+frac{b}{a} right)}+c )]
형태로 변환할 수 있고, 이에 따라 해당 함수의 그래프는 [math(y=sqrt{ax})]의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(-{b}/{a})]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(c)]만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 [math(y=sqrt{ax})]에 대해 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 세 가지 유형의 함수를 얻을 수 있다.
[math( displaystyle f(x)=sqrt{aleft(x+frac{b}{a} right)}+c )]
형태로 변환할 수 있고, 이에 따라 해당 함수의 그래프는 [math(y=sqrt{ax})]의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(-{b}/{a})]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(c)]만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 [math(y=sqrt{ax})]에 대해 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 세 가지 유형의 함수를 얻을 수 있다.
- [math(y=sqrt{-ax})]
- [math(y=sqrt{ax})]를 [math(y)]축에 대하여 대칭이동
- 정의역은 [math( displaystyle { x|x leq 0,,x in mathbb{R} } )]
- 치역은 [math( displaystyle { y|y geq 0,,y in mathbb{R} } )]
- [math(y=-sqrt{ax})]
- [math(y=sqrt{ax})]를 [math(x)]축에 대하여 대칭이동
- 정의역은 [math( displaystyle { x|x geq 0,,x in mathbb{R} } )]
- 치역은 [math( displaystyle { y|y leq 0,,y in mathbb{R} } )]
- [math(y=-sqrt{-ax})]
- [math(y=sqrt{ax})]를 원점에 대하여 대칭이동
- 정의역은 [math( displaystyle { x|x leq 0,,x in mathbb{R} } )]
- 치역은 [math( displaystyle { y|y leq 0,,y in mathbb{R} } )]
4. 역함수
무리함수 [math(y=pm sqrt{ax+b}+c)]의 역함수를 구하기 위해 [math(x)]와 [math(y)]의 자리를 바꾸면
[math( displaystyle x=pmsqrt{ay+b}+c quad to quad pmsqrt{ay+b}=x-c )]
양변을 제곱하여 정리하면
[math( displaystyle ay+b=(x-c)^{2} quad to quad y=frac{1}{a}{(x-c)^{2}-b} )]
로 이차함수가 된다. 단, 역함수의 정의역은 본래 함수의 치역임에 유의한다. 즉, 역함수의 그래프는 대칭축을 기준으로 반으로 잘린 모양이다.
[math( displaystyle x=pmsqrt{ay+b}+c quad to quad pmsqrt{ay+b}=x-c )]
양변을 제곱하여 정리하면
[math( displaystyle ay+b=(x-c)^{2} quad to quad y=frac{1}{a}{(x-c)^{2}-b} )]
로 이차함수가 된다. 단, 역함수의 정의역은 본래 함수의 치역임에 유의한다. 즉, 역함수의 그래프는 대칭축을 기준으로 반으로 잘린 모양이다.
5. 무한에 대한 극한값
모든 무리함수의 그래프는 무리함수 [math(y=sqrt{ax} ;(a>0))]의 그래프를 평행이동 혹은 대칭이동하여 만들 수 있다. 따라서 [math(y=sqrt{ax} ;(a>0))]만 논해도 무방하다.
[math(y=sqrt{ax} ;(a>0))]의 극한값은
[math( displaystyle lim_{xto infty}sqrt{ax}=infty )]
이고, 이는 변형된 엡실론-델타 논법으로 증명된다. 곧, 임의의 양수 [math(M)]에 대하여
[math( displaystyle x>K Rightarrow sqrt{ax} >M )]
을 만족시키는 양수 [math(K)]가 존재함을 보이면 된다.
[math( displaystyle begin{aligned} sqrt{ax} >M &to sqrt{x}>frac{M}{sqrt{a}} \& to x>frac{M^{2}}{a} end{aligned})]
따라서 [math( displaystyle K = {M^{2}}/{a} )]으로 택하면 충분하고,
[math( displaystyle begin{aligned} x>frac{M^{2}}{a} Rightarrow sqrt{ax}>M end{aligned} )]
이므로 [math(displaystyle lim_{xto infty}sqrt{ax}=infty)]임을 알 수 있다.
고등학교 수준에서는 '[math(x)]가 무한히 커지면 [math(sqrt{ax})]도 무한히 커지므로 [math(displaystylelim_{xto infty}sqrt{ax}=infty)]'로 알면 충분하다.
[math(y=sqrt{ax} ;(a>0))]의 극한값은
[math( displaystyle lim_{xto infty}sqrt{ax}=infty )]
이고, 이는 변형된 엡실론-델타 논법으로 증명된다. 곧, 임의의 양수 [math(M)]에 대하여
[math( displaystyle x>K Rightarrow sqrt{ax} >M )]
을 만족시키는 양수 [math(K)]가 존재함을 보이면 된다.
[math( displaystyle begin{aligned} sqrt{ax} >M &to sqrt{x}>frac{M}{sqrt{a}} \& to x>frac{M^{2}}{a} end{aligned})]
따라서 [math( displaystyle K = {M^{2}}/{a} )]으로 택하면 충분하고,
[math( displaystyle begin{aligned} x>frac{M^{2}}{a} Rightarrow sqrt{ax}>M end{aligned} )]
이므로 [math(displaystyle lim_{xto infty}sqrt{ax}=infty)]임을 알 수 있다.
고등학교 수준에서는 '[math(x)]가 무한히 커지면 [math(sqrt{ax})]도 무한히 커지므로 [math(displaystylelim_{xto infty}sqrt{ax}=infty)]'로 알면 충분하다.
6. 도함수
무리함수 [math(f(x)=sqrt[n]{x})]의 도함수는 다음과 같다.
[math( displaystyle f'(x)=frac{sqrt[n]{x}}{nx} )]
이 도함수는 [math(x=0)]에서의 기울기를 기술할 수 없음을 나타낸다. 즉, [math(x=0)]의 접선은 [math(x)]축에 수직이므로 기울기가 발산한다.
[math( displaystyle f'(x)=frac{sqrt[n]{x}}{nx} )]
이 도함수는 [math(x=0)]에서의 기울기를 기술할 수 없음을 나타낸다. 즉, [math(x=0)]의 접선은 [math(x)]축에 수직이므로 기울기가 발산한다.
7. 역도함수
무리함수 [math(f(x)=sqrt[n]{x})]의 역도함수는
[math( displaystyle int f(x), {rm d}x=frac{nxsqrt[n]{x}}{n+1}+textsf{const.} )]
이다. [math(textsf{const.})]는 적분 상수이며 [math(C)]로도 쓴다.
[math( displaystyle int f(x), {rm d}x=frac{nxsqrt[n]{x}}{n+1}+textsf{const.} )]
이다. [math(textsf{const.})]는 적분 상수이며 [math(C)]로도 쓴다.
7.1. 특수한 적분법
7.1.1. 일차식의 거듭제곱근이 포함된 경우
피적분함수가 [math(sqrt[n]{ax+b})] (단, [math(a)], [math(b)]는 상수)를 포함할 때는 [math( displaystyle sqrt[n]{ax+b}=t )]로 치환하면 피적분함수가 [math(t)]에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다.
7.1.2. 유리식의 거듭제곱근이 포함된 경우
피적분함수가 [math( displaystyle sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)} )] (단, [math(asim d)]는 상수)를 포함할 때는 [math( displaystyle sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)}=t )]로 치환하면 피적분함수가 [math(t)]에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다.
7.1.3. 삼각치환법
피적분함수가 [math(sqrt{a^2-x^2})], [math(sqrt{a^2+x^2})] (단, [math(a)]는 상수) 형태일 때 변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.
7.1.4. 이차식의 제곱근이 포함된 경우
피적분함수가 [math(sqrt{ax^2+bx+c} )] (단, [math(a)], [math(b)], [math(c neq 0)])을 포함할 때, [math(a)]의 부호에 따라 적분한다.
[1] [math(boldsymbol{a>0})]
[math(sqrt{ax^2+bx+c}=t-sqrt{a}x)]
로 치환하여 피적분함수를 [math(t)]에 대한 유리식으로 바꾸어 적분한다.
[2] [math(boldsymbol{a<0})]
이차식 [math(ax^2+bx+c)]를 [math(a(x-alpha)(x-beta))]로 인수분해하여
[math( sqrt{dfrac{x-alpha}{beta-x}}=t )]
로 치환한 뒤
[math( x=dfrac{alpha+beta t^2}{t^2+1} quad to quad {rm d}x=dfrac{2t(beta-alpha)}{(1+t^2)^2},{rm d}t )]
이고,
[math( sqrt{ax^2+bx+c}=dfrac{sqrt{-a} |alpha-beta| }{1+t^2} )]
임을 이용하여 적분한다.
[1] [math(boldsymbol{a>0})]
[math(sqrt{ax^2+bx+c}=t-sqrt{a}x)]
로 치환하여 피적분함수를 [math(t)]에 대한 유리식으로 바꾸어 적분한다.
[2] [math(boldsymbol{a<0})]
이차식 [math(ax^2+bx+c)]를 [math(a(x-alpha)(x-beta))]로 인수분해하여
[math( sqrt{dfrac{x-alpha}{beta-x}}=t )]
로 치환한 뒤
[math( x=dfrac{alpha+beta t^2}{t^2+1} quad to quad {rm d}x=dfrac{2t(beta-alpha)}{(1+t^2)^2},{rm d}t )]
이고,
[math( sqrt{ax^2+bx+c}=dfrac{sqrt{-a} |alpha-beta| }{1+t^2} )]
임을 이용하여 적분한다.
7.1.5. 타원 적분
8. 기타
- 무리함수는 고1 때 배운다.
- 무리함수는 도함수를 구하는 것이 비교적 쉬우나 역도함수는 여러 적분법을 써야 간신히 구해지는 경우가 많다.