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붉은 선이 구심력. 출처 정보

구심력(求心力, centripetal force)은 물체가 원 운동을 하게 만드는 힘이다. centripetal은 라틴어로 중심이란 뜻의 centrum과 갈구한다는 뜻의 petere가 결합된 단어이다. 한자어로도 공 구(球) 자가 아닌 구할 구(求) 자를 쓴다. 구심력은 항상 곡률 중심(회전 축의 중심인 경우가 많다)을 향한다는 점에서 적절한 번역인 듯.

1659년 네덜란드 물리학자인 크리스티안 하위헌스(Huygens, C. : 1629~1695)[1]가 구심력을 수식으로 기술한 적이 있다. 의외로 오래된 개념이다.

물체가 원운동을 하도록 방향을 바꾸는 역할을 하는 힘을 구심력 이라고 한다. 따라서 구심력의 기저에는 중력, 마찰력 등 다양한 힘이 있을 수 있다. 가상적인 힘인 관성력의 일종인 원심력과는 달리 구심력은 실재하는 힘이다.

구심력을 바탕으로 빗길에 미끄러지는 차량을 생각해 볼 수 있다. 빗길에서는 커브시 타이어의 마찰력이 감소한다. 마찰력이 구심력의 역할을 해야 하는데 이 구심력이 감소한 것이다. 수식을 보면 알겠지만, 선속도가 일정할 때, 구심력 [math(F_c)]가 감소하면 반지름이 [math(r)]이 증가해야 한다. 따라서 [math(r)]이 증가한 만큼 회전하게 되니 가드레일로 돌진하게 되는 것이다.

수학적으로 구심력은

질량 [math(m)]인 물체를 [math(v)]의 선속력, 혹은 [math(omega)]의 각속력으로 반지름 [math(r)]인 원운동을 시킬 때의 구심력의 크기 [math(F_c)]는,

으로 나타낼 수 있다.

원 궤도를 따라 이동한 거리 [math(l)]은 중심 [math(rm O)]로부터의 반지름 [math(r)]과 각변위 [math(theta)]를 이용해서 [math(l = rtheta)]로 표현되며, 각속도 [math(omega)]는 [math(omega = dfrac{{rm d}theta}{{rm d}t})]로 정의된다. 이 때 각속도 벡터 [math(bfOmega)]의 방향은 오른손 법칙에 따라 평면상의 반시계 방향 회전에 대해 평면을 뚫고 나오는 방향이 양의 방향으로 정의되며, 선속도 벡터 [math(bf v)]는 [math(bfOmega)]와 변위 벡터 [math(bf x)]의 벡터곱 [math(bf v = Omegatimes x)]로 나타낼 수 있다.[2], [math({bf x} = r(cosomega t,,sinomega t,,0))]으로 놓고 [math(bfOmegatimes x)]롤 계산하면 [math({bf v} = romega(-sinomega t,,cosomega t,,0))]이 얻어지는데, 이는 [math(bf x)]를 [math(t)]에 대해 미분한 식 [math(dfrac{{rm d}bf x}{{rm d}t})]과 동치이다.] 선속도의 크기 [math(v)]는 [math(v = |{bf v}|= |{bfOmegatimes x}| = {|bfOmega||x|}sinphi = omegacdot rsindfracpi2 = romega)]가 된다.[3]를 시간 [math(t)]로 미분한 식에서 [math(r)]이 일정하므로 [math(v = dfrac{{rm d}l}{{rm d}t} = dfrac{{rm d}(rtheta)}{{rm d}t} = rdfrac{{rm d}theta}{{rm d}t} = romega)]와 같이 구할 수도 있다.]

[math(bf v)]를 [math(t)]에 대해 미분한 가속도 [math(bf a)]는 벡터곱의 분배 법칙에 따라 다음과 같이 되는데

위 식에서 제2항이 구심가속도 [math(bf a_c)]를 나타낸다. 식을 잠깐 살펴보면 앞서 [math(bf v = Omegatimes x)]였고 [math({bf v} = dfrac{{rm d}bf x}{{rm d}t})]이므로 [math({bfOmega}timesdfrac{{rm d}bf x}{{rm d}t} = bfOmegatimes(Omegatimes x))]로 나타낼 수 있는데, 벡터곱의 삼중곱을 적용하면 [math(bfOmegatimes(Omegatimes x) = Omega(Omegacdot x)-x(OmegacdotOmega))]가 되고 [math({bfOmegacdot x} = 0)], [math({bfOmegacdotOmega = |Omega|}^2 = omega^2)]이므로 [math({bfOmega(Omegacdot x) - x(OmegacdotOmega) = Omega}cdot 0-{bf x}cdotomega^2 = -omega^2{bf x})]. 즉 제2항은 변위 벡터와 방향이 정반대, 곧 원의 중심을 향하는 벡터임을 알 수 있고, 그 크기 [math(a_c)] 역시 [math(a_c = |-omega^2{bf x}| = omega^2r)]로 구심가속도의 특성과 정확하게 일치한다.
제1항은 각속도의 미분에 관련된 식으로 선가속도(접선가속도) [math(bf a_t)]를 의미하며 원운동의 가속도는 접선가속도와 구심가속도의 합임을 알 수 있다. 아울러 각 식이 의미하는 바도 유추할 수 있는데 [math(bf a_t)]는 [math(bf v)]의 각속도에 영향을 주는 물리량이며, [math(bf a_c)]는 [math(bf v)]의 방향에 영향을 주는 물리량임을 알 수 있다. 등속 원운동의 경우 각속도가 일정하기 때문에 [math(bf a_t = 0)]이 되어 구심가속도만 남은 특수한 경우로 볼 수 있다.

구심력을 [math({bf F_c})]라고 하고 이를 운동 방정식에 적용하면

이 얻어진다.

중심 [math(rm O)]로부터 거리 [math(r)]만큼 떨어져서 각속도 [math(omega)]로 움직이는 물체가 있다고 하면, 직교좌표계에서 이 물체의 좌표는 시간 [math(t)]에 따른 함수로 결정된다. 즉

이다.[4]일 때의 좌표를 [math((r,,0))]으로 둔다. 꼭 [math((r,,0))]일 필요는 없고, [math((x_0,,y_0))]여도 문제는 없지만, 이 경우는 [math(r = sqrt{{x_0}^2 + {y_0}^2})]로 두고 이를 만족시키는 [math(t_0)]를 구해야 한다.]
이 매개변수를 [math(t)]에 대해 미분하면 시간에 따른 좌표의 변화이므로 선속도가 된다.

단, 이건 시간 [math(t)]에 대하여 [math(x)]좌표상에 사영된 선속도와 [math(y)]좌표상에 사영된 선속도이며, [math(v(t))]는 [math(v_x(t))], [math(v_y(t))]를 성분으로 갖는 벡터가 되므로 선속도의 크기 [math(v)]를 구하기 위해 각 성분의 제곱의 합의 제곱근 즉,

로 [math(v)]를 구할 수 있다.
마찬가지 방법으로 [math(x'(t))]와 [math(y'(t))]를 [math(t)]에 대해 한 번 더 미분하면 구심 가속도의 크기 [math(a_c)]를 구할 수 있으며, 계산하면 [math(a_c = romega^2)]이 된다.
[math(v = r omega)]에서 [math(omega = dfrac vr)]이므로 [math(a_c)]에 대입하면 [math(a_c = romega^2 = rleft(dfrac vrright)^2 = dfrac{v^2}r)]이 된다.
각 식을 운동 방정식 [math(F_c = ma_c)]에 대입하면 [math(F = mromega^2 = dfrac{mv^2}r)]가 된다.
전자는 각속도와 반지름이 주어졌을 때 구심력을 구하는 식이며, 후자는 각속도가 아닌 반지름과 선속도가 주어졌을 때 구심력을 구하는 공식이다.