항등식

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분류

1. 개요2. 예시
2.1. [[삼각함수]]2.2. [[지수]]2.3. [[로그]]2.4. [[미적분]]2.5. [[벡터]]2.6. 미분류
3. 미정계수법4. 관련 문서

1. 개요

Identity ・ 恒等式

문자를 포함한 등식에서, 문자의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 값일 때만 성립하는 것은 방정식이라고 한다. 항등식의 부등식 버전으론 절대부등식이 있다. 주의할 점은 방정식처럼 보이는 [math(ax+b=0)]같은 식도 [math(a=b=0)]라는 조건이 주어지면 항등식이 된다.[1] 조건을 항상 잘 확인하자.

f(x)=(x에 관한 식) 의 형태로 함수 f(x)를 정의할 때는 등식 f(x)=(x에 관한 식) 을 x에 대한 항등식으로 생각할 수 있다.

2. 예시

[math(e)]는 자연로그의 밑, [math(i)]는 허수단위이다.

2.1. 삼각함수

  1. [math(displaystyle tantheta= {sintheta over costheta})]
  2. [math(sin^2theta + cos^2theta=1)]
  3. [math(1+tan^2theta=sec^2theta)]
  4. [math(1+cot^2theta=csc^2theta)]
  5. [math(cos x + i sin x = e^{ix})] (오일러 공식)
  6. [math(sin theta = -i sinh i theta)]
  7. [math(cos theta = cosh i theta)]
  8. [math({displaystyle sin x=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}})]
  9. [math({displaystyle cos x=frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}})]
  10. [math({displaystyle tan x = {sin x over cos x} = -i frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}})]

2.2. 지수

  1. [math(x^{a+b} = x^ax^b)]
  2. [math(displaystyle x^{a-b} = {x^a over x^b})] (단, [math(x^{b} neq 0)])
  3. [math(left(x^aright)^b=x^{ab})]
  4. [math(left(xcdot yright)^n=x^ncdot y^n)]
  5. [math(e^x = sinh x + cosh x)]

2.3. 로그

  1. [math(log{ab}=log{a}+log{b})]
  2. [math(displaystyle log{a over b}=log{a}-log{b})]
  3. [math(log{a^n}=nlog{a})]
  4. [math(displaystyle log_{a}{b}={log_{c}{b} over log_{c}{a}})] (밑 변환 공식)
  5. [math(displaystyle log_{a}{b}={1 over log_{b}{a}})]
  6. [math(displaystyle log_i{x} = {2 over i pi} log_e{x})]
  7. [math(mathrm{li}(x) = mathrm{Ei} circ log_e (x))][3]는 로그 적분 함수, [math(mathrm{Ei}(x))]는 지수 적분 함수이다.]

2.4. 미적분

  1. [math(displaystyle {d over dx} c = 0)] (c는 상수)
  2. [math(displaystyle {d over dx} x^n = n x^{n-1} leftrightarrow int x^n = {{1}over {n+1}} x^{n+1}+c)] (c는 상수)
  3. [math(displaystyle {d over dx} exp x = exp x)]
  4. [math(displaystyle {d over dx} ln x = x^{-1})]
  5. [math(displaystyle int^b_a f'(x)dx = f(b) - f(a) )] (단, 함수 [math(f')]이 닫힌 구간 [math(left[a, bright])]에서 연속이어야 한다. 미적분의 기본정리 참조.)
  6. [math(displaystyle int_{1}^{e}{1 over x}dx = ln e - ln 1 =1)]
  7. [math(displaystyle frac{d}{dx}sin x=cos x)]
  8. [math(displaystyle frac{d}{dx}cos x=-sin x)]
  9. [math(displaystyle frac{d}{dx}tan x=sec^{2}x)]
  10. [math(displaystyle frac{d}{dx}sec x=sectan x)]
  11. [math(displaystyle frac{d}{dx}cot x=-csc^{2}x)]
  12. [math(displaystyle frac{d}{dx}csc x=-csc x cot x)]
  13. [math(displaystyle frac{d}{dx}sinh x=cosh x)]
  14. [math(displaystyle frac{d}{dx}cosh x=sinh x)]
  15. [math(displaystyle frac{d}{dx}tanh x=text{sech}^{2}x)]
  16. [math(displaystyle frac{d}{dx}text{sech} x=-text{sech}x tanh x)]
  17. [math(displaystyle frac{d}{dx}text{coth} x=-text{csch}^{2} x)]
  18. [math(displaystyle frac{d}{dx}text{csch} x=-text{csch} x text{coth} x)]
  19. [math(displaystyle frac{d}{dx} |x| = mathrm{sgn}left(xright) leftrightarrow int mathrm{sgn}left(xright) = |x| + C)][6]는 부호 함수이다.]
  20. [math(displaystyle frac{d}{dx} mathrm{sgn}left(xright) = 2deltaleft(xright) leftrightarrow int 2deltaleft(xright) = 2 theta left(xright) + C = mathrm{sgn}left(xright) + 1 + C)][7]는 디랙 델타 함수, [math(thetaleft(xright))]는 헤비사이드 계단 함수이다.]

2.5. 벡터


  1. [math((mathbf{a} times mathbf{b}) times mathbf{c} = -(mathbf{c} cdot mathbf{b})mathbf{a} + (mathbf{c} cdot mathbf{a}) mathbf{b})]
  2. [math(mathbf{a} times (mathbf{b} times mathbf{c}) = mathbf{b}(mathbf{a} cdot mathbf{c}) - mathbf{c}(mathbf{a} cdot mathbf{b}))]
  3. [math(mathbf{a} times (mathbf{b} times mathbf{c}) + mathbf{b} times (mathbf{c} times mathbf{a}) + mathbf{c} times (mathbf{a} times mathbf{b}) = mathbf{0})]

2.6. 미분류

  1. [math({}_nmathrm P_r = dfrac{Gamma left( n+1 right)}{Gamma left( n-r+1 right)} = left( n-r+1 right) dfrac{Gamma left( n+1 right)}{Gamma left( n-r+2 right)} = left( n-r+1 right) cdot {}_nmathrm P_{r-1})]
    (단, [math(Re(n+1), Re(n-r+1), Re(n-r+2) notin mathbb{Z} - mathbb{N})][10])
  2. [math(Im(a)=0 ,,,(a in mathbb{R}))][11]

3. 미정계수법

[math(x)]에 관한 등식 [math(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0=0)]이 [math(x)]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math(a_n=a_{n-1}=cdots=a_1=a_0=0)]이다. 비슷하게 [math(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+cdots+b_1x+b_0)]이 [math(x)]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math(a_0=b_0,a_1=b_1,cdots,a_{n-1}=b_{n-1},a_n=b_n)]이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 미정계수법이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.
  1. 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.
  2. 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[13] 방정식을 푸는 방법.
숫자 대입하는게 어지간히 복잡하지 않는 이상은 수치대입법이 보통 더 빠르다.
생각해보라. [math((x-1)^{10})] 같은 식을 누가 일일이 전개해서 볼까? 아마 용자들은 할지도 우리에겐 이항정리가 있다!

4. 관련 문서




[1] 이 조건을 '자명하다'라고 한다.[2] [math(mathrm{li}(x))[3] [math(mathrm{li}(x))[4] [math(mathrm{sgn}left(xright))[5] [math(deltaleft(xright))[6] [math(mathrm{sgn}left(xright))[7] [math(deltaleft(xright))[8] 감마 함수에 들어가는 인수의 실수부가 0 또는 음의 정수가 되어서는 안된다는 뜻이다.[9] 실수의 허수부는 무조건 0이라는 의미이다.[10] 감마 함수에 들어가는 인수의 실수부가 0 또는 음의 정수가 되어서는 안된다는 뜻이다.[11] 실수의 허수부는 무조건 0이라는 의미이다.[12] 보통 0이나 1을 대입한다.[13] 보통 0이나 1을 대입한다.[14] 의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다. 애초에 곱셈 공식은 복잡한 곱셈의 결과를 쉽게 찾게 해주는것, 인수분해는 식을 곱셈의 꼴로 나타내는것이 목적이다.[15] 의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다. 애초에 곱셈 공식은 복잡한 곱셈의 결과를 쉽게 찾게 해주는것, 인수분해는 식을 곱셈의 꼴로 나타내는것이 목적이다.