[목차] == 명칭과 유래 == [[파일:external/upload.wikimedia.org/300px-Centripetal_force_diagram.svg.png]] 붉은 선이 구심력. [[http://en.wikipedia.org/wiki/File:Centripetal_force_diagram.svg|출처 정보]] 구심력(求心力, centripetal force)은 물체가 [[원(도형)|원]] 운동을 하게 만드는 힘이다. centripetal은 [[라틴어]]로 중심이란 뜻의 centrum과 갈구한다는 뜻의 petere가 결합된 단어이다. 한자어로도 [[공 구]]([[球]]) 자가 아닌 [[구할 구]]([[求]]) 자를 쓴다. 구심력은 항상 곡률 중심(회전 축의 중심인 경우가 많다)을 향한다는 점에서 [[적절]]한 번역인 듯. 1659년 [[네덜란드]] 물리학자인 크리스티안 하위헌스(Huygens, C. : 1629~1695)[* 과거엔 '호이겐스'라고 했는데 이 표기는 일본식 표기 ホイゲンス(호이겐스)에서 유래한 것이다. 네덜란드어 발음 기호로는 /ɦœyɣə(n)s/이므로 이를 그대로 받아적으면 '회위헌스' 정도로 나타낼 수 있는데 /œy/는 실제로 '아위'에 가깝게 들린다. 영어권에서도 이를 발음하듯 '하이겐스'(/ˈhaɪɡəns/라고 발음한다.]가 구심력을 수식으로 기술한 적이 있다. 의외로 오래된 개념이다. == 설명 == 물체가 원운동을 하도록 방향을 바꾸는 역할을 하는 힘을 [[구심력]] 이라고 한다. 따라서 구심력의 기저에는 중력, 마찰력 등 다양한 힘이 있을 수 있다. 가상적인 힘인 관성력의 일종인 원심력과는 달리 구심력은 실재하는 힘이다. 구심력을 바탕으로 빗길에 미끄러지는 차량을 생각해 볼 수 있다. 빗길에서는 커브시 타이어의 마찰력이 감소한다. 마찰력이 구심력의 역할을 해야 하는데 이 구심력이 감소한 것이다. 수식을 보면 알겠지만, 선속도가 일정할 때, 구심력 [math(F_c)]가 감소하면 반지름이 [math(r)]이 증가해야 한다. 따라서 [math(r)]이 증가한 만큼 회전하게 되니 가드레일로 돌진하게 되는 것이다. 수학적으로 구심력은 == 공식 == 질량 [math(m)]인 물체를 [math(v)]의 선속력, 혹은 [math(\omega)]의 각속력으로 반지름 [math(r)]인 원운동을 시킬 때의 구심력의 크기 [math(F_c)]는, ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(F_c = \displaystyle \frac{mv^2}{r} = \displaystyle \frac{m(r\omega)^2}{r} = \displaystyle \frac{m r^2 \omega^2}{r} = mr\omega^2)] || 으로 나타낼 수 있다. == 유도 == === 원운동의 특성으로부터 유도하는 과정 === 원 궤도를 따라 이동한 거리 [math(l)]은 중심 [math(\rm O)]로부터의 반지름 [math(r)]과 각변위 [math(\theta)]를 이용해서 [math(l = r\theta)]로 표현되며, 각속도 [math(\omega)]는 [math(\omega = \dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t})]로 정의된다. 이 때 각속도 벡터 [math(\bf\Omega)]의 방향은 오른손 법칙에 따라 평면상의 반시계 방향 회전에 대해 평면을 뚫고 나오는 방향이 양의 방향으로 정의되며, 선속도 벡터 [math(\bf v)]는 [math(\bf\Omega)]와 변위 벡터 [math(\bf x)]의 [[벡터곱]] [math(\bf v = \Omega\times x)]로 나타낼 수 있다.[* 간단하게 [math({\bf\Omega} = (0,\,0,\,\omega))], [math({\bf x} = r(\cos\omega t,\,\sin\omega t,\,0))]으로 놓고 [math(\bf\Omega\times x)]롤 계산하면 [math({\bf v} = r\omega(-\sin\omega t,\,\cos\omega t,\,0))]이 얻어지는데, 이는 [math(\bf x)]를 [math(t)]에 대해 미분한 식 [math(\dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t})]과 동치이다.] 선속도의 크기 [math(v)]는 [math(v = \|{\bf v}\|= \|{\bf\Omega\times x}\| = {\|\bf\Omega\|\|x\|}\sin\phi = \omega\cdot r\sin\dfrac\pi2 = r\omega)]가 된다.[* 단순히 선속도의 크기만 구하는 것이라면 이동 거리 [math(l = r\theta)]를 시간 [math(t)]로 미분한 식에서 [math(r)]이 일정하므로 [math(v = \dfrac{{\rm d}l}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm d}(r\theta)}{{\rm d}t} = r\dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t} = r\omega)]와 같이 구할 수도 있다.] [math(\bf v)]를 [math(t)]에 대해 미분한 가속도 [math(\bf a)]는 [[벡터곱]]의 분배 법칙에 따라 다음과 같이 되는데 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}{\bf a} &= \dfrac{{\rm d}(\bf\Omega\times x)}{{\rm d}t} \\ &= \dfrac{{\rm d}\bf\Omega}{{\rm d}t}\times{\bf x} + {\bf\Omega}\times\dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t}\end{aligned})] || 위 식에서 제2항이 '''구심가속도''' [math(\bf a_c)]를 나타낸다. 식을 잠깐 살펴보면 앞서 [math(\bf v = \Omega\times x)]였고 [math({\bf v} = \dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t})]이므로 [math({\bf\Omega}\times\dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t} = \bf\Omega\times(\Omega\times x))]로 나타낼 수 있는데, 벡터곱의 [[삼중곱]]을 적용하면 [math(\bf\Omega\times(\Omega\times x) = \Omega(\Omega\cdot x)-x(\Omega\cdot\Omega))]가 되고 [math({\bf\Omega\cdot x} = 0)], [math({\bf\Omega\cdot\Omega = \|\Omega\|}^2 = \omega^2)]이므로 [math({\bf\Omega(\Omega\cdot x) - x(\Omega\cdot\Omega) = \Omega}\cdot 0-{\bf x}\cdot\omega^2 = -\omega^2{\bf x})]. 즉 제2항은 변위 벡터와 방향이 정반대, 곧 원의 중심을 향하는 벡터임을 알 수 있고, 그 크기 [math(a_c)] 역시 [math(a_c = \|-\omega^2{\bf x}\| = \omega^2r)]로 구심가속도의 특성과 정확하게 일치한다. 제1항은 각속도의 미분에 관련된 식으로 선가속도(접선가속도) [math(\bf a_t)]를 의미하며 원운동의 가속도는 접선가속도와 구심가속도의 합임을 알 수 있다. 아울러 각 식이 의미하는 바도 유추할 수 있는데 [math(\bf a_t)]는 [math(\bf v)]의 각속도에 영향을 주는 물리량이며, [math(\bf a_c)]는 [math(\bf v)]의 방향에 영향을 주는 물리량임을 알 수 있다. [[등속 원운동]]의 경우 각속도가 일정하기 때문에 [math(\bf a_t = 0)]이 되어 구심가속도만 남은 특수한 경우로 볼 수 있다. 구심력을 [math({\bf F_c})]라고 하고 이를 운동 방정식에 적용하면 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}{\bf F_c} &= m{\bf a_c} = -m\omega^2{\bf x} \\ F_c &= \|{\bf F_c}\| = ma_c = mr\omega^2 = \dfrac{mv^2}r\end{aligned})] || 이 얻어진다. === 매개변수 함수로 유도하는 과정 === 중심 [math(\rm O)]로부터 거리 [math(r)]만큼 떨어져서 각속도 [math(\omega)]로 움직이는 물체가 있다고 하면, 직교좌표계에서 이 물체의 좌표는 시간 [math(t)]에 따른 함수로 결정된다. 즉 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{cases}x(t) &=r\cos(\omega t) \\ y(t) &=r\sin(\omega t)\end{cases})] || 이다.[* 계산의 간편함을 위하여 [math(t=0)]일 때의 좌표를 [math((r,\,0))]으로 둔다. 꼭 [math((r,\,0))]일 필요는 없고, [math((x_0,\,y_0))]여도 문제는 없지만, 이 경우는 [math(r = \sqrt{{x_0}^2 + {y_0}^2})]로 두고 이를 만족시키는 [math(t_0)]를 구해야 한다.] 이 매개변수를 [math(t)]에 대해 미분하면 시간에 따른 좌표의 변화이므로 선속도가 된다. ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{cases}v_x(t) &= x'(t)\ =\ -r \omega \sin(\omega t) \\ v_y(t) &= y'(t) = r\omega\cos(\omega t)\end{cases})] || 단, 이건 시간 [math(t)]에 대하여 [math(x)]좌표상에 사영된 선속도와 [math(y)]좌표상에 사영된 선속도이며, [math(v(t))]는 [math(v_x(t))], [math(v_y(t))]를 성분으로 갖는 벡터가 되므로 선속도의 크기 [math(v)]를 구하기 위해 각 성분의 제곱의 합의 제곱근 즉, ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023>[math(\begin{aligned} v(t) &= \sqrt{\{v_x(t)\}^2 + \{v_y(t)\}^2} \\ &= \sqrt{\{-r\omega\sin(\omega t)\}^2 + \{r\omega\cos(\omega t)\}^2} \\ &= \sqrt{(r\omega)^2 \{\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)\}} \\ &=r \omega\end{aligned})]|| 로 [math(v)]를 구할 수 있다. 마찬가지 방법으로 [math(x'(t))]와 [math(y'(t))]를 [math(t)]에 대해 한 번 더 미분하면 구심 가속도의 크기 [math(a_c)]를 구할 수 있으며, 계산하면 [math(a_c = r\omega^2)]이 된다. [math(v = r \omega)]에서 [math(\omega = \dfrac vr)]이므로 [math(a_c)]에 대입하면 [math(a_c = r\omega^2 = r\left(\dfrac vr\right)^2 = \dfrac{v^2}r)]이 된다. 각 식을 운동 방정식 [math(F_c = ma_c)]에 대입하면 [math(F = mr\omega^2 = \dfrac{mv^2}r)]가 된다. 전자는 각속도와 반지름이 주어졌을 때 구심력을 구하는 식이며, 후자는 각속도가 아닌 반지름과 선속도가 주어졌을 때 구심력을 구하는 공식이다. [[분류:물리학]]