수학자 다비드 힐베르트가 제기한 역설. 힐베르트의 무한 호텔 역설(Hilbert's Paradox of the Grand Hotel)으로도 불린다. 무한대의 특성을 직관적으로 보여주는 예시이다. 힐베르트가 직접 출판하진 않았지만 1924년 1월 괴팅겐에서 강의를 통해 이 역설을 언급했다.[1] 이후 1948년 조지 가모프의 책 '1,2,3 그리고 무한'에 등장한 것을 계기로 수학이나 물리학을 소재로 한 글에서 무한의 성질을 나타내는 예시로 널리 쓰이게 되었다.

힐베르트는 객실이 무한한 호텔이 있으며 이 호텔의 모든 객실은 차있어서 빈 방이 없다고 가정했다. 일반적인 호텔이라면 객실이 가득 차있을 경우 새로운 손님이 왔을 때 빈 방을 마련하는 것이 불가능하다. 하지만 힐베르트의 호텔은 1번 방의 손님은 2번 방으로, 2번 방의 손님은 3번 방으로 옮기는 식으로 모든 투숙객이 n+1번 방으로 배정되어 원래 있던 방의 바로 옆 방으로 방을 옮기도록 하여 언제나 빈 방을 마련할 수 있다.

여려명, 즉 m명의 손님이 온 경우 에도 간단히 모든 투숙객이 n+m방으로 옮기도록 하면 된다.

힐베르트의 호텔에 무한한 손님을 태운 버스가 와서 무한한 빈방을 마련해야 할 때에도 1번 방의 손님을 2번 방으로, 2번 방의 손님을 4번 방으로 보내는 식으로 모든 투숙객에게 객실 번호의 두배가 되는 방으로 옮기도록 지시하면 무한한 홀수의 빈 방을 마련할 수 있다.

마지막으로, 무한한 손님을 태운 버스가 무한히 정차해 그 손님들의 빈방을 마련해야 할때는 소수[2]의 특성을 이용하여 일단 투숙객들에게는 첫번째 소수인 2에다 자신의 방번호에 제곱한 즉, 2^n방으로 이동하라고 하고, 각각의 무한한 버스는 3,5,7... 으로 다음 소수들을 배정하고 무한한 손님들에게는 각각 1부터 승차번호를 부여하고 승차번호에 배정된 소수를 제곱한 방 즉, 배정된 소수^n 의 방으로 가라고 하면 된다. 물론, 이렇게 하면 6번방과 같은 많은 빈방이 생기겠지만 일단 손님을 모두 받는데에는 성공한다.

위 영상에도 언급되지만 이 경우는 작은 범위의 무한만을 생각하는 경우에 해당된다. 위의 상황에서 다룬경우는 어디까지나 자연수의 무한에만 해당되는 것이다. 자연수의 집합을 제외한 실수 범위까지 포함하게 되면 위와 같은 일반적인 사고로는 해결할 수 없게 된다.

그외에 다양한 패턴의 손님들이 들어와도 계속 방을 줄수 있다는 이론이다.