인도의 수학자 스리니바사 라마누잔이 고안한 수식이다. $1+2+3+4+\cdots$은 당연히 무한대로 발산하므로 수가 아니다. 그런데, 이 비범한 천재 라마누잔은 그걸 하나의 수로 가정하고 식을 전개한 뒤,

이 된다고 직관적으로 계산해 냈다.

사실 라마누잔합이라고 부르는 개념은 이렇게 단순한 것이 아니지만, 제대로 알아보려면 복소해석학을 배워야 한다. 해석적 확장이라는 개념을 사용하기 때문.

라마누잔은 이를 직관적으로 $1/4$라고 계산했다. 라마누잔의 계산과정은 이곳에 잘 설명되어 있다. 이를 증명하면 아래와 같다.

$|x|<1$ 에 대해서 무한등비급수

이 성립한다. $x$ 대신 $-x$를 대입하여 식을 변형하면,

이 된다. 미분하면

양변에 -1을 곱하면 아래와 같이 된다.


이 식은 애초에 $|x|<1$ 에서만 성립한다. 그런데, $x \to 1^{-}$의 극한[1]을 생각해보면 다음과 같은 식이 성립한다.

이 식은 $|x|<1$ 에서 정의되므로, 원칙적으로 $x=1$에서는 정의되진 않는다. 좌극한은 존재하나 우극한이 존재하지 않기 때문이다.[2] 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 $\mathbf{1/4}$이다.

다시 라마누잔의 메모로 돌아가서 $c = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots$으로 두고, 양 변에 4를 곱한 뒤 한 칸씩 엇갈려서 두 식을 빼면

앞에서

이라고 계산했으니,

이 된다. 일반적인 덧셈과 구분하기 위해서 $(\Re)$ 이란 표기를 추가하여

로 표기한다.

앞에서 언급한 무한등비급수

에서 $x \to -1$의 극한을 구해 보면, 아래와 같다.


앞의 것과 마찬가지로 $|x|<1$ 에서 정의되므로, 원칙적으로는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 $\boldsymbol{1/2}$이다.

참고로, 이 급수는 그란디 급수란 이름이 있으며 라마누잔합은 '이렇게 부분합이 수렴하지 않는 무한급수의 값은 어떻게 정의할 수 있을까?'란 질문에 답하기 위해 개발된 기법중 하나다.

앞에서 언급한 무한등비급수

에서 [math(x to 2)]의 극한을 구해 보면, 아래와 같다.


앞의 것과 마찬가지로 $|x|<1$ 에서 정의되므로, 원칙적으로는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 −1이다.

해석적 정수론에서 아래의 형태의 '함수'로서 접하게 된다.

이 직관과는 거리가 먼 결과들은 나중에 리만 가설과 연관성이 발견되면서 재평가를 받는다.

리만 가설의 바로 그 베른하르트 리만은 소수 정리를 연구하면서 리만 제타 함수라는 것을 만드는데 아래와 같다.

이 식은 원래 실수 중에서 $x>1$일 때만 수렴하는 식이다. 리만은 이를 복소수로 확장하여 $x$의 실수부가 1보다 크기만 하면 수렴한다고 증명하였다. 그리고, 그렇지 않은 $x$에 대해서도 연구하기 시작한다. 그리고, 방정식 $\displaystyle\zeta(x) =0$ 에 대해서 −2, −4, −6, −8, $\cdots$ 등의 해가 있음(자명한 근)을 증명하였고, 자명하지 않은 근이 존재함도 밝혔는데, '자명하지 않은 근의 실수부는 모두 $1/2$ 이다.'가 그 유명한 리만 가설이다.

참고로, 리만 제타 함수에 $x=-1$을 대입하면 바로 위의 그 식이 나오며, 리만 제타 함수에서도 이 값은

이 나온다. 단, 이렇게 쓰기 위해서는 여러 가지 수학적 장치가 필요하다.