몫미분

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분류

1. 개요2. 증명
2.1. 미분계수를 이용한 증명2.2. [[곱미분]]을 이용한 증명
3. 활용4. 기타
4.1. [[고등학교]] [[교육과정]]
5. 관련 문서


1. 개요

몫미분(몫의 미분법[1], Quotient rule)은 다음 유리함수의 도함수를 구하는 공식이다.
[math( displaystyle frac {f(x)}{g(x)} ; )](단, [math( displaystyle g(x) neq 0 )])

2. 증명

2.1. 미분계수를 이용한 증명

함수
[math( displaystyle F(x)=dfrac {f(x)}{g(x)} ; )](단, [math( displaystyle g(x) neq 0 )])
에 대하여 그 미분 계수는
[math(begin{aligned} displaystyle F'(x)&=lim_{h to 0}frac{F(x+h)-F(x)}{h} \&=lim_{h to 0}frac{1}{h} left[ dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-dfrac{f(x)}{g(x)} right] \&=lim_{h to 0}frac{1}{h} frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)} end{aligned})]
위 결과의 분자에 [math(f(x)g(x))]를 빼고 더하면,
[math(begin{aligned} displaystyle F'(x)&=lim_{h to 0}frac{1}{h} frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{g(x)g(x+h)} \&=lim_{h to 0}frac{1}{h} frac{g(x)[f(x+h)-f(x) ]-f(x)[g(x+h)-g(x) ] }{g(x)g(x+h)} \&=lim_{h to 0}frac{ g(x) dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x) dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} }{g(x) g(x+h)} \&=frac{displaystyle g(x) lim_{h to 0} dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x )lim_{h to 0} dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} }{displaystyle g(x) lim_{h to 0} g(x+h)} \ &=frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^{2}} end{aligned})]

[math(thereforedisplaystyle left[ frac{f(x)}{g(x)} right]'=frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^{2}} ; )](단, [math( displaystyle g(x) neq 0 )])

한편, [math(f(x)=1)]이면 다음이 성립한다.
[math(displaystyle left[ frac{1}{g(x)} right]'=-frac{g'(x)}{[g(x) ]^{2}} ; )](단, [math( displaystyle g(x) neq 0 )])

2.2. 곱미분을 이용한 증명

함수
[math( displaystyle F(x)=frac {f(x)}{g(x)} ; )](단, [math( displaystyle g(x) neq 0 )])
에 대하여 양변에 [math(g(x))]를 곱하면,
[math( displaystyle f(x)=F(x)g(x) )]
이때, 곱미분을 이용하여 [math(f(x))]의 도함수를 구하면,
[math( displaystyle f'(x)=F(x)g'(x)+F'(x)g(x) )]
[math(F'(x))]에 대하여 정리하면,
[math( displaystyle begin{aligned} F'(x)&=frac{f'(x)-F(x)g'(x)}{g(x)} \&=frac{displaystyle f'(x)-frac{f(x)}{g(x)}g'(x)}{g(x)} \&=frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^2} end{aligned} )]

3. 활용

  • 분수함수의 도함수를 구할 때도 쓰이지만 탄젠트 함수의 도함수를 증명할 때 용이하게 쓰인다. 자세한 것은 삼각함수의 도함수 참조.

4. 기타

  • 몫미분을 미분계수의 정의로 다루기엔 굉장히 복잡하기 때문에 아래처럼 곱미분을 먼저 다룬 뒤 그것을 활용하는 방법도 있다. 대학수학능력시험에서는 위에 나오는 덧셈에 대한 역원[5]을 증명 기법으로 쓰는 사고방식을 주로 요구하기 때문에 직접 증명하고 나아가는 것이 좋다.
  • 곱미분을 이용한 증명은 고교 교육 과정에선 다루지 않으나, 고교 이상의 교육과정에서는 간간이 쓰이기 때문에 한번 증명해 보는 것이 좋다.[6]
  • 애석하게도 몫미분과는 달리 몫에 대한 적분은 일반화된 해법이 없다.[7]는 로그함수가 되며, 여기서 피적분함수의 분자에 지수함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수가 오면 각각 지수 적분 함수, 삼각 적분 함수, 쌍곡선 적분 함수라는 특수함수가 된다.] 만약 몫의 부정적분이 초등함수라면, 해당 역도함수는 리시 방법을 통해 구할 수 있다.

4.1. 고등학교 교육과정

5. 관련 문서

[1] 현행 고교 교육과정에는 이 명칭으로 배움.[2] 일부 재치 있는 교육자는 수학에서 역원을 활용하는 테크닉에 대해서 "If the problem gets complicated, do nothing mathematically.(문제가 복잡해지면, 수학적으로 아무것도 하지 마라.)"라고 가르치기도 한다.[3] 학원에서는 이런 방법으로 증명하기도 한다.[4] 간단한 몫 적분인 [math(displaystyle int frac1x , mathrm{d}x)[5] 일부 재치 있는 교육자는 수학에서 역원을 활용하는 테크닉에 대해서 "If the problem gets complicated, do nothing mathematically.(문제가 복잡해지면, 수학적으로 아무것도 하지 마라.)"라고 가르치기도 한다.[6] 학원에서는 이런 방법으로 증명하기도 한다.[7] 간단한 몫 적분인 [math(displaystyle int frac1x , mathrm{d}x)