리시 방법

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1. 개요2. 상세3. 예시

1. 개요[편집]

Risch algorithm · Risch方法

초등함수의 역도함수가 초등함수일 경우, 그 풀이를 정형적인 '방법'으로 정리한 것이다.

초등함수는 부정적분에는 닫혀 있지 않지만[1], 역도함수가 초등함수인 경우 어떠한 규칙이 있음을 조제프 리우빌[2]이 발견했고, 이를 로버트 리시가 확립한 것이다.

흔히 아래의 형태인

\displaystyle f = v' + \sum_{k=1}^{n} c_k \frac{u_k'}{u_k}

임이 알려져 있다.

리시-노먼 방법이라고 불리기도 하는데, 리시 방법을 최적화한 아서 노먼의 이름이 붙은 것이다.

\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k

(단,

n > 0,\, n \in {\mathbb N}

)에 대해서 다음 공식이 적용된다.

도함수: $\displaystyle \frac{\rm d}{{\rm d}x} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) a_{k+1} x^k$
역도함수: $\displaystyle \int f(x) \, {\rm d}x = \sum_{k=0}^{n} \frac{a_k}{k} x^{k+1} + {\sf const.}$

여기서

\textsf{const.}

는 적분 상수이다.

e^{-x^2}

은 명백히 초등함수인 지수함수와 이차함수의 합성으로 나타낼 수 있지만, 그 역도함수를 초등함수로 표현할 수 없다는 것을 한 번쯤 접해봤을 것이다.[2] 리우빌의 정리로 유명한 그 리우빌이다.