몫미분

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1. 개요2. 증명
2.1. 미분계수를 이용한 증명2.2. 곱미분을 이용한 증명
3. 활용4. 기타
4.1. 고등학교 교육과정
5. 관련 문서

1. 개요[편집]

몫미분(몫의 미분법[1], Quotient rule)은 다음 유리함수의 도함수를 구하는 공식이다.
f(x)g(x)   \displaystyle \frac {f(x)}{g(x)} \; (단, g(x)≠0 \displaystyle g(x) \neq 0 )

2. 증명[편집]

2.1. 미분계수를 이용한 증명[편집]

함수
F(x)=f(x)g(x)   \displaystyle F(x)=\dfrac {f(x)}{g(x)} \; (단, g(x)≠0 \displaystyle g(x) \neq 0 )
에 대하여 그 미분 계수는
F′(x)=lim⁡h→0F(x+h)−F(x)h=lim⁡h→01h[f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)]=lim⁡h→01hf(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)g(x)g(x+h)\begin{aligned} \displaystyle F'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \left[ \dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)} \right] \\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)} \end{aligned}
위 결과의 분자에 f(x)g(x)f(x)g(x)를 빼고 더하면,
F′(x)=lim⁡h→01hf(x+h)g(x)−f(x)g(x)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x)g(x)g(x+h)=lim⁡h→01hg(x)[f(x+h)−f(x)]−f(x)[g(x+h)−g(x)]g(x)g(x+h)=lim⁡h→0g(x)f(x+h)−f(x)h−f(x)g(x+h)−g(x)hg(x)g(x+h)=g(x)lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h−f(x)lim⁡h→0g(x+h)−g(x)hg(x)lim⁡h→0g(x+h)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\begin{aligned} \displaystyle F'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{g(x)g(x+h)} \\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \frac{g(x)[f(x+h)-f(x) ]-f(x)[g(x+h)-g(x) ] }{g(x)g(x+h)} \\&=\lim_{h \to 0}\frac{ g(x) \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x) \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} }{g(x) g(x+h)} \\&=\frac{\displaystyle g(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x )\lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} }{\displaystyle g(x) \lim_{h \to 0} g(x+h)} \\ &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^{2}} \end{aligned}
∴[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2  \therefore\displaystyle \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^{2}} \; (단, g(x)≠0 \displaystyle g(x) \neq 0 )

한편, f(x)=1f(x)=1이면 다음이 성립한다.
[1g(x)]′=−g′(x)[g(x)]2  \displaystyle \left[ \frac{1}{g(x)} \right]'=-\frac{g'(x)}{[g(x) ]^{2}} \; (단, g(x)≠0 \displaystyle g(x) \neq 0 )

2.2. 곱미분을 이용한 증명[편집]

함수
F(x)=f(x)g(x)   \displaystyle F(x)=\frac {f(x)}{g(x)} \; (단, g(x)≠0 \displaystyle g(x) \neq 0 )
에 대하여 양변에 g(x)g(x)를 곱하면,
f(x)=F(x)g(x) \displaystyle f(x)=F(x)g(x)
이때, 곱미분을 이용하여 f(x)f(x)의 도함수를 구하면,
f′(x)=F(x)g′(x)+F′(x)g(x) \displaystyle f'(x)=F(x)g'(x)+F'(x)g(x)
F′(x)F'(x)에 대하여 정리하면,
F′(x)=f′(x)−F(x)g′(x)g(x)=f′(x)−f(x)g(x)g′(x)g(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2 \displaystyle \begin{aligned} F'(x)&=\frac{f'(x)-F(x)g'(x)}{g(x)} \\&=\frac{\displaystyle f'(x)-\frac{f(x)}{g(x)}g'(x)}{g(x)} \\&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^2} \end{aligned}

3. 활용[편집]

  • 분수함수의 도함수를 구할 때도 쓰이지만 탄젠트 함수의 도함수를 증명할 때 용이하게 쓰인다. 자세한 것은 삼각함수의 도함수 참조.

4. 기타[편집]

  • 몫미분을 미분계수의 정의로 다루기엔 굉장히 복잡하기 때문에 아래처럼 곱미분을 먼저 다룬 뒤 그것을 활용하는 방법도 있다. 대학수학능력시험에서는 위에 나오는 덧셈에 대한 역원[2]을 증명 기법으로 쓰는 사고방식을 주로 요구하기 때문에 직접 증명하고 나아가는 것이 좋다.
  • 곱미분을 이용한 증명은 고교 교육 과정에선 다루지 않으나, 고교 이상의 교육과정에서는 간간이 쓰이기 때문에 한번 증명해 보는 것이 좋다.[3]
  • 애석하게도 몫미분과는 달리 몫에 대한 적분은 일반화된 해법이 없다.[4] 만약 몫의 부정적분이 초등함수라면, 해당 역도함수는 리시 방법을 통해 구할 수 있다.

4.1. 고등학교 교육과정[편집]

5. 관련 문서[편집]

[1] 현행 고교 교육과정에는 이 명칭으로 배움.[2] 일부 재치 있는 교육자는 수학에서 역원을 활용하는 테크닉에 대해서 "If the problem gets complicated, do nothing mathematically.(문제가 복잡해지면, 수학적으로 아무것도 하지 마라.)"라고 가르치기도 한다.[3] 학원에서는 이런 방법으로 증명하기도 한다.[4] 간단한 몫 적분인 ∫1x dx\displaystyle \int \frac1x \, \mathrm{d}x는 로그함수가 되며, 여기서 피적분함수의 분자에 지수함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수가 오면 각각 지수 적분 함수, 삼각 적분 함수, 쌍곡선 적분 함수라는 특수함수가 된다.