geometric sequence(progression) · 等比數列

2, 4, 8, 16, 32, [math(cdots)]처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 수열을 등비수열이라고 한다. 여기에서 연속한 두 항의 비를 공비(common ratio, 公比)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항을 [math(a ;(a neq 0))], 공비를 [math(r)]로 표기한다. 첫째 항은 초항(初項)이라고도 하며, 문자 [math(r)]은 비(比)를 뜻하는 ratio의 머리글자이다.

수열 [math({a_{n} })]이 공비가 [math(r)]인 등비수열이면 임의의 자연수 [math(k)]에 대하여 다음이 성립한다.

이에 따라 등비수열 [math({a_n})]의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 수열의 귀납적 정의 문서를 참고하라.

꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의 일반항을 정할 수 있다.

[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 등비수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 등비중항이라고 한다.

예를 들어 등비수열 [math(a_n)]에 대하여 [math(a_6)], [math(a_7)], [math(a_8)]의 등비중항은 [math(a_7=pm sqrt{a_6a_8})]이다.

다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면 [math(b=sqrt{ac})]로 표현되어 그대로 나머지 두 항의 기하평균이 된다.

등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열 [math(a_n=ar^{n-1})]에 대하여 좌표평면에 [math((n,, a_n))]을 나타내면 다음과 같다.

파일:namu_등비수열_1_수정.png

각 점의 [math(n)]좌표는 몇 번째 항인지를, [math(a_n)]좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 지수함수의 그래프의 위에 있다. 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은 자연수만을 정의역으로 하는 지수함수이다.

이에 따라 [math(a_n)]에서 본디 [math(n)]은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 [math(n)]이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다.

등비수열 [math({a_n})]과 임의의 음이 아닌 정수 [math(m)]에 대하여 다음이 성립한다.

특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다.

첫째 항 [math(a)]와 공비 [math(r)]에 따라 등비수열 [math(a_{n}=ar^{n-1})]의 극한은 달라진다. oscillation은 진동을 뜻한다.

따라서 등비수열이 수렴하기 위한 [math(r)]의 범위는 아래와 같다.

첫째 항이 [math(a)]이고 공비 [math(r)]이 1이 아닌 등비수열 [math({a_n})]에 대하여, 항을 소거하기 위하여 [math(S_n)]에서 [math(rS_n)]을 빼어 등비수열의 합을 구한다.

한편, 위 공식에 [math(r=1)]을 대입하면 분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다(부정형). 공식을 유도하는 과정을 보더라도 [math(r=1)]이면 우변의 모든 항이 소거되어 공식을 제대로 유도할 수 없다. 이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다.

로피탈의 정리를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다.

등비수열 [math({a_n})]에 대하여 [math(sum |a_k|)]를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지의 합을 기준으로 설명한다.

등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열 [math({a_n})]에 대하여 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지의 항 중에서 양수 항들의 합을 [math(P_n)], 음수 항들의 합을 [math(M_n)]이라 하면

이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면 [math(M_n=0)], 음수이면 [math(P_n=0)]인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로 각주를 참고하라.

결론부터 말하면, 등비수열의 합은 [math(ar^n+b)]의 꼴이며, [math(a+b=0)]이면 첫째 항부터, [math(a+bneq 0)]이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다.

우선 앞서 밝힌 등비수열 [math({a_n})]의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다.

여기에서 [math({a}/{(r-1)})]를 [math(p)]로 고쳐 쓰자.

[math(a=p)], [math(b=-p)]이고 [math(a+b=0)]이 성립하므로, [math({a_n})]은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어 [math(S_n=5^n-1)]이면 [math(a=1,;b=-1)]이므로 [math({a_n})]은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면, [math(S_n=5^n-2)]이면 [math(a=1)], [math(b=-2)]이므로 [math({a_n})]은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.

[math(a_n)]의 다른 모든 항은 같고 [math(a_1)]만이 1의 차이가 나므로 [math(S_n)] 역시 계속 1의 차이만 나게 된다.

주의할 것은 [math(S_{boldsymbol n})]이 [math(a+b=0)]인지의 여부를 따질 때는 지수가 [math(boldsymbol n)]이어야 한다는 점이다. 예로 다음 [math(S_n)]에 대하여, 각각 [math({a_n})]이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는 [math(k)]의 값을 구해 보자.