복부호 동순

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식에서 복호를 2개 이상 사용할 때, 복호를 위에서부터 같은 순서로 적용하는 것. 복호 동순이라고도 한다. 다음 예를 보자.


a2±2ab+b2=(a±b)2\displaystyle\boldsymbol {a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2}


±\displaystyle \pm에서 위에 있는 ++±\displaystyle \pm가 있는 모든 부분에 먼저 적용한다. 그 다음 아래에 있는 -±\displaystyle \pm가 있는 모든 부분에 적용한다. 그러면 다음과 같이 된다.


a2+2ab+b2=(a+b)2\displaystyle\boldsymbol {a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}
a22ab+b2=(ab)2\displaystyle\boldsymbol {a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}


주의할 점은 복호가 반대로 적용되는 경우에도 복부호 동순이라는 것이다. 가령, 삼각함수의 덧셈정리cos\cos의 경우

cos(a±b)=cosacosbsinasinb\cos (a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b



cos(a+b)=cosacosbsinasinbcos(ab)=cosacosb+sinasinb\begin{aligned} \cos (a + b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \cos (a - b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b \end{aligned}

로 적용해야 함을 일컫는다.

이런 혼동을 막기 위해 복부호 대신 부호 함수를 사용해 다음과 같이 표기하기도 한다.

a2+2sgn(b)ab+b2=(a+bsgn(b))2cos(a+bsgn(b))=cosacosbsgn(b)sinasinb\displaystyle \begin{aligned} a^2 + 2\, {\rm sgn}(b)\, ab+b^2 &= (a + b\, {\rm sgn}(b))^2 \\ \cos (a + b \,{\rm sgn}(b)) &= \cos a \cos b - {\rm sgn}(b) \sin a \sin b \end{aligned}


초중고 교육과정에서 한 번도 명시적으로 이 용어를 가르치지는 않으나, 교과서나 문제집의 풀이를 보면 수식 옆에 '(복부호 동순)'이라는 말이 적혀 있는 걸 볼 수 있다(...).