$n$번째 항을 $n$보다 작은항들의 관계식으로서 '귀납적(歸納的)'으로 수열(數列)을 정의(定義)하는 것. 수열 자기 자신의 항들로 정의한다고 해서 '재귀적(再歸的) 정의'라고도 한다. 이렇게 나타낸 식을 점화식이라고 한다.

수열의 귀납적 정의에서는 한 수열의 여러 항이 동시에 등장하는데 수열의 모든 항을 유일하게 결정하려면, 처음 몇 개 항의 값을 밝혀주어야 한다. 예를 들어 수열 $a_n$을 $a_n=a_{n-1}+2$로 정의하고 싶다면, $a_1$에 값을 줘야 모든 항의 값을 결정할수 있다. 반면, $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$의 경우에는 $a_{1}$과 $a_{2}$에 값을 줘야 한다.

점화식으로부터 일반항을 구하는 것은 경우에 따라서 매우 어렵다. 쉽게 말해 미적분학의 상미분방정식 위치에 있다고 보면 되지만, 난이도는 심지어 미분방정식보다 더 어렵다.

등차수열의 점화식은 $a_{n+1}=a_n+d$ 꼴이다. $n$에 $1$부터 $n-1$까지의 자연수를 차례로 대입하면

등차중항을 이용하여 $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$로 정의할 수도 있다.

등비수열의 점화식은 $a_{n+1}=ra_n$ 꼴이다. $n$에 $1$부터 $n-1$까지의 자연수를 차례로 대입하면

등비중항을 이용하여 ${a_{n+1}}^2=a_na_{n+2}$로 정의할 수도 있다.

$pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0$(단, $p+q+r=0$)에서 $a_n$의 일반항을 도출해 보자.


이때, $b_{n}$을 아래와 같이 놓으면,

이는 수열 $b_n$에 대한 귀납적 정의이다. 앞서 알아본 대로 $b_n$은 공비가 $r/p$인 등비수열이 되며 일반항은

한편,

$a_{n+1}=pa_n+q$(단, $p \neq 0$, $p \neq 1$, $q \neq 0$)에서 $a_n$의 일반항을 도출해 보자. 우선 적당한 $\alpha$를 찾아,

의 꼴로 변환한다.

로 놓으면 $b_{n+1}=pb_n$이므로 $b_n$은 공비가 $p$인 등비수열이다. 이에 따라 $a_n$의 일반항은

$a_{n+1}={pa_n}/{(qa_n+r)}$의 일반항을 도출해 보자. 양변에 역수를 취하면

$b_n=1/{a_n}$로 놓으면

이 형태는 $q\neq 0$이면 앞서 설명한 $a_{n+1}=pa_n+q$(단, $p \neq 0$, $p \neq 1$, $q \neq 0$)와 같으며, $q=0$이면 $b_n$은 공비가 $r/p$인 등비수열이 된다.

앞서 설명한 것들은 그래도 풀이가 매우 단순하고 정형화된 축에 속하며, 점화식이 교육과정에서는 삭제되었을지언정 고등학생들도 내신과 수능을 위해 공부하면 좋을 내용이다. 그러나 수열을 귀납적으로 정의하는 방법은 얼마든지 다양하며, 그 한없이 다양한 정의에 대하여 정형화된 일반항 도출 방법을 얼른 얻어낼 수가 없기 때문에, 비슷한 특성이 있는 미분방정식과 함께 종종 거론된다.

단적인 예로 피보나치 수열이 있다. 피보나치 수열은 두 개의 $1$로 시작하여 앞 두 항을 더하여 새로운 항을 계속 얻어내는 수열이므로 점화식 도출이야 일도 아니다. 그러나 피보나치 수열의 일반항을 구하기란 쉽지 않은데, 상당히 일반항이 복잡하다. 자세한 사항은 피보나치 수열 문서를 참고하라.

그 외에, 완전순열도 점화식까지는 어느 정도 머리를 쓰면 도출해낼 수 있지만 그를 바탕으로 일반항을 구하기란 역시 까다롭다. 완전순열 참고.