[include(틀:관련 문서, top1=비유클리드 기하학, top2=삼각형)] [include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:삼각형)] [목차][[파일:20160712215538!Spherical-triangle.png|width=192&align=right]] [clearfix] == 개요 == {{{+1 [[球]][[面]][[三]][[角]][[形]] · spherical triangle}}} [[구(도형)|구면]] 위에 그려진 [[삼각형]]을 말한다. [[비유클리드 기하학]]에서 가장 많이 다루어지는 도형이다.[* 이는 '''[[지구]]'''라는 현실적 대상과 매우 밀접할 수밖에 없기 때문.] == 성질 == * 내각의 합은 [math(\pi)]보다 크다.[* 구면삼각형은 모든 각이 직각일 수 있음을 많이 접해봤을 것이다.] * 모든 변이 같으나 한 각이 [math(\dfrac{\pi}{3})]보다 큰 임의의 각을 갖는 '정삼각형'이 존재한다. 그 가운데 모든 각이 직각인 정삼각형은 구면을 정확히 8등분해서 얻을 수 있다. * 오목삼각형이 존재한다. 즉 한 각의 크기가 [math(\pi)]를 초과할 수 있다. * 삼각형의 내각의 합은 [math(3\pi)]보다 작다. 내각의 합이 [math(3\pi)]가 되는 경우 [[일각형]]으로 축퇴된다. * 외접원, 내접원, 방접원은 구의 단면이다. * 최소 3개의 수심을 갖는다. 하나 이상의 각이 직각인 삼각형은 수심이 4개이다. * 삼각형의 넓이는 단위구 기준 내각의 합에서 [math(\pi)]를 뺀 값이다. * [[헤론의 공식|각 변의 길이를 모두 더한 값의 절반]]보다 넓이가 항상 크다. == 공식 == === 구면직각삼각형의 공식 === 빗변의 길이가 [math(c)]([[라디안]])인 경우. [math(\cos c=\cos a\cos b)] [math(\sin A= \dfrac{\sin a}{\sin c} , \cos A=\dfrac{\tan b}{\tan c} , \tan A=\dfrac{\tan a}{\sin b} )] [math(\cos A)]를 기술하는 항에서 [math(c=\dfrac{\pi}{2})]일 경우, [[로피탈의 정리]]를 취해 [math(\dfrac{\sec^2b}{\sec^2c}=\dfrac{\cos^2c}{\cos^2b})]로 계산해야 한다. === 구면삼각형의 [[사인 법칙]] === [math( \dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C} )] === 구면삼각형의 [[코사인 법칙]] === * 변에대한 코사인법칙 [math( \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C )] * 각도에 대한 코사인법칙 [math(\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c )] * 각도의 코사인 법칙과 변의 코사인 법칙을 합한것 [math(\cos c=\dfrac{\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos A\cos B}{1-\sin a\sin b\sin A\sin B})] [[분류:미분 기하학]][[분류:비유클리드 기하학]][[분류:삼각형]][[분류:한자어]]