(a) $A$가 가역행렬이다.

(b) $\mathbb{R}^n$의 임의의 원소 $\mathbf{b}$에 대하여, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$의 해는 유일하다.

(c) $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$은 유일한 해를 갖는다.

(d) $A$의 RREF는 단위행렬 $I_n$이다.

(e) $A$는 기본행렬들의 곱이다.

(f) $\mathrm{rank}\left(A\right) = n$

(g) $\mathrm{nullity}(A) = 0$

(h) $A$의 열벡터들은 선형독립이다.

(i) $A$의 열벡터들은 $\mathbb{R}^n$을 생성한다.

(j) $A$의 열벡터들의 집합은 $\mathbb{R}^n$의 기저이다.

(k) $A$의 행벡터들은 선형독립이다.

(l) $A$의 행벡터들은 $\mathbb{R}^n$을 생성한다.

(m) $A$의 행벡터들의 집합은 $\mathbb{R}^n$의 기저이다.

(n) $\det A \neq 0$

(o) 0은 $A$의 고윳값이 아니다.

(p) $T$는 가역이다.[1]

(q) $T$는 단사이다.

(r) $T$는 전사이다.

(s) $\mathrm{ker}(T)=\{ \mathbf{0} \}$

(t) $\mathrm{range}(T) = W$

(u) 0은 $A$의 singular value가 아니다.

(a) => (b) : b=A^(-1)x 로 유일.

(b) => (c) : b=0의 특수한 경우.

(c) => (d) : A의 RREF를 R이라고 하면 Ax=0와 Rx=0의 해는 같아야 하므로 Rx=0의 해는 유일해야 하고 free variable이 없어야 하며 따라서 R에는 zero row가 없어야 한다. 즉 R=I.

(d) => (e) : A와 I_n이 행 동치이므로 I_n에 적절한 row operation들을 유한 번 취해주어, 즉 적절한 elementary matrix들을 유한 번 곱해주어 A로 만들 수 있다. I_n은 행렬곱에 대한 항등원이므로 A는 기본행렬들의 곱으로 나타내어진다.

(e) => (a) : 기본행렬들의 행렬식은 0이 아니고, 임의의 n×n 행렬 P, Q에 대해 det(PQ)=det(P)det(Q)이므로 성립.

(f) <=> (g) : Rank Theorem

(g) <=> (c) : nullity(A)=0 <=> null(A)=0[2] <=> Ax=0이면 x는 영공간에 속한다. <=> Ax=0이면 x=0이다.