부호 함수

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1. 개요2. 성질3. 복소 부호 함수4. 기타

1. 개요[편집]

파일:나무_부호함수_그래프_수정.png
부호 함수의 그래프 개형

부호 함수(sign(um) function)[1]는 특수함수 중 하나로, 어떤 실수의 부호를 출력하는 함수이다. 기호로는 sgn x\mathrm{sgn}\,x로 쓰며, 정의는 아래와 같다.


sgn x≡{x∣x∣ if x≠00 if x=0\displaystyle \mathrm{sgn}\,x \equiv \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{|x|} & \text{ if } x \neq 0 \\ \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases}

구체적인 값은 아래와 같다.

sgn x={1 if x>00 if x=0−1 if x<0\displaystyle \mathrm{sgn}\,x=\begin{cases} \displaystyle 1 & \text{ if } x>0 \\ \displaystyle 0 & \text{ if } x=0 \\ -1 & \text{ if } x<0 \end{cases}


보통 점화식에서 특정항의 부호만을 취할 때 사용되는 함수이다.

2. 성질[편집]

  1. 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉,

    (sgn∘sgn)(a)=sgn a (\mathrm{sgn} \circ \mathrm{sgn})(a)=\mathrm{sgn}\, a

    가 성립한다.

  2. 부호 함수는 홀함수(Odd function, 기함수)이다. 따라서

    sgn x=−sgn (−x) \mathrm{sgn} \,x=-\mathrm{sgn}\,(-x)

    가 성립한다.

  3. 계단 함수(Step function)의 일종이다.

  4. 불연속점이 x=0x=0에서 존재한다. 따라서

    lim⁡x→0+sgn x=1≠0lim⁡x→0−sgn x=−1≠0 \begin{aligned} \lim_{x \to 0^{+}} \mathrm{sgn}\, x &=1 \neq 0 \\ \lim_{x \to 0^{-}} \mathrm{sgn}\, x &=-1 \neq 0 \end{aligned}

    이므로 lim⁡x→0sgn x\displaystyle \lim_{x \to 0} \mathrm{sgn}\, x는 정의되지 않는다.

  5. 도함수는 디랙 델타 함수에 2를 곱한 값이다. 즉,

    ddx(sgn x)=2δ(x) \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\mathrm{sgn}\,x) =2 \delta (x)

    이다.

  6. 역도함수는 절댓값 함수이다. 즉,

    ∫sgn x dx=∣x∣+C\displaystyle \int \mathrm{sgn}\,x\,\mathrm{d}x=|x|+C

    이다.

  7. 정의역이 복소수인 경우는 {−1, 0, 1} \{ -1,\,0,\,1 \}이 아닌 다른 값을 띄게 되는데, 이는 복소수의 절댓값이 실수하고는 다르게 정의[2]되기 때문이다. 다만, 원점과의 거리는 항상 1이 된다.[3]

3. 복소 부호 함수[편집]


csgn(z)={ℜ(z)∥ℜ(z)∥if ℜ(z)≠0ℑ(z)∥ℑ(z)∥if ℜ(z)=0, ℑ(z)≠00if ℜ(z)=0, ℑ(z)=0\displaystyle \mathrm{csgn} (z) = \begin{cases} \dfrac{\Re(z)}{\|\Re(z)\|} & \mathrm{if} \ \Re(z) \neq 0 \\ \\ \dfrac{\Im(z)}{\|\Im(z)\|} & \mathrm{if} \ \Re(z) =0,\, \Im(z) \neq 0 \\ \\ 0 & \mathrm{if} \ \Re(z) = 0,\, \Im(z) = 0 \end{cases}


복소수에서 부호 함수가 '부호 판별'의 기능을 잃어버리기 때문에 복소수에 맞게 재정의한 함수이다.

정의를 보듯, 순허수인 경우에만 허수부의 부호를 판별하고 나머지는 실수부의 부호를 판별한다.

4. 기타[편집]

  • 간단한 정의임에도 중등교육과정 이하에서 코빼기도 보이지 않는 함수이다.[4] 대학 과정에서 푸리에 변환을 배울 때 처음 접한다.
    • 푸리에 변환의 결과로 나오는 함수는 분수함수이다: sgn^(x)=−i/πξ\widehat{\rm sgn}(x) = -i/ \pi \xi
  • 컴퓨터과학에서는 음수 값을 1, 양수 값을 0으로 정의한다는 차이점이 있다.[5] 이 정의는 헤비사이드 계단 함수와 천장함수를 사용한 1−⌈u(x)⌉1 - \lceil u(x) \rceil 또는 집합 판별 함수을 사용한 1R−\mathbf{1}_{\mathbb{R^-}}과 동치이다.
  • 부호 함수에 x를 곱할 경우에는 x=0에서 미분이 불가능하지만 , x²을 곱한 x²sgn(x)는 전 구간에서 미분이 가능하다.[6]
  • Microsoft Excel에도 부호 함수가 존재한다. SIGN(number).

[1] Signum이라는 이름이 따로 있는 이유는 Sign과 발음이 같은 Sine과 혼동할 수 있기 때문.[2] 복소수 zz에 대하여, ∣z∣=zz∗=[ℜ(z)]2+[ℑ(z)]2|z| = \sqrt{z z^{\ast}} = \sqrt{[\Re(z) ]^2+[\Im(z) ]^2}이다. 여기서 z∗z^{\ast}는 zz의 켤레 복소수이다.[3] 파일:나무_부호함수_복소평면.png
위 그림과 같이 복소평면 상 복소수 zz에 대한 부호함숫값 sgn z{\rm sgn} \, z는 복소평면 상 ∣z∣=1|z|=1의 원판 상에 존재한다.[4] 정작 수학Ⅱ의 함수의 극한, 함수의 연속 파트에서 부호 함수를 알아야 풀 수 있는 문제가 출제되곤 한다.[5] 정의하는 위치는 MSB(Most Significant Bit), 즉 맨 왼쪽 자리다.[6] 실제로 부호함수에 x를 곱하면 |x| 함수가 되며 , x²을 곱하면 x|x| 함수가 된다. 그 후 0에서 양쪽의 미분계수를 구해보면 된다.