Bowers Exploding Array Function, 줄여서 BEAF는 매우 큰 수들을 표기하는 표기법 중 하나이다.

1. $\{a,b\}=a^b$

2. $\{a,1,b,c,d,...e\}=a$

3. $\{a,b,c,d,e...f,1\}=\{a,b,c,d,e...f\}$

4. $\{a,b,1,..,1,d,e,..,k\} = \{a,a,a,..,{a,b-1,1,..,1,d,e,..,k},d-1,e,..,k\}$

5. $\{a,b,c,d, ..., k\} = \{a,\{a,b-1,c,d,...,k\},c-1,d,..,k\}$

커누스 윗화살표 표기법을 사용하여, 확장 연산자를 다음과 같이 정의한다.

1. $a\{c\}b=a\uparrow^c b$
2. $a\{c\}^db=\underbrace{a\{c-1\}​^da\{c-1\}​^da\{c-1\}​^da...a\{c-1\}​^da}_b$
3. $a\{1\}^d b=\underbrace{a\{a\{a\{a\{....a\{a}_b\}^{d-1}a\}^{d-1}...a\}^{d-1}a\}^{d-1}$

예를 들어, $3\{4\}3$은 $3\uparrow^43=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$ 이다.

그레이엄 수는 $3\uparrow^n3=3\{n\}3$의 커누스 화살표 탑이 63개 쌓여있고 끝에 $3\uparrow^43=3\{4\}3$이 있다고 생각할 수 있다. 즉 $\underbrace{3\{3\{3\{...3\{4\}3...\}3\}3\}3}_{63}\approx 3\{\{1\}\}64$로 근사할 수 있다.

$a\{c\}^db = \{a,b,c,d\}$다.

이렇게 수 4개만 되더라도 커누스 윗 화살표로 표기할땐 화살표의 개수를 층으로 표현해야 된다.

그리고 {a,b,1}={a,b}다

{a,b,c}랑 {a,b,c,d}가 {a,b,c,d, ..., k} = {a,{a,b-1,c,d,...,k},c-1,d,..,k}가 성립하는걸 볼 수 있다.
{a,b,1,..,1,d,e,..,k} = {a,a,a,..,{a,b-1,1,..,1,d,e,..,k},d-1,e,..,k}은 수 4개부터 성립될거다.
{a,b,1}은 바로 {a,b,c,d,e...f,1}={a,b,c,d,e...f}가 성립되버리니까.