분류
1. 개요
원주율(圓周率, [math(pi)])은 원의 지름에 대한 원주(원둘레)의 비율을 뜻하며, 그 값은 3.14159...[1]이다. 원주율을 알고 있다면 원의 둘레의 길이를 구하기 위해 힘들게 줄자를 사용할 필요가 없다. 그냥 지름의 길이를 구해서 지름의 길이에 원주율을 곱하면 된다. 그래서 지름이 [math(1,rm cm)]인 원의 둘레의 길이는 [math(3.1415cdotscdots,rm cm)]이고 지름이 [math(2,rm cm)]인 원의 둘레의 길이는 [math(6.28cdotscdots,rm cm)]이다. 그리스 문자 [math(pi)]로 표시하는데, 한국 발음으로는 파이[2]이며, 그리스어로 '둘레'를 뜻하는 페리메트로스(περιμετρος)의 첫 글자 π에서 땄다고 한다. 최초로 원주율을 [math(pi)]로 표기한 사람은 웨일스의 수학자 윌리엄 존스로, 자신의 저서에 [math(pi)]를 사용하였다. 이후 레온하르트 오일러에 의해 대중화되었다.
원주율은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이자 초월수이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다.(아이반 니벤의 증명) 파인만 포인트 등에서 착각할 순 있지만... 그러나 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.
원주율은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이자 초월수이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다.(아이반 니벤의 증명) 파인만 포인트 등에서 착각할 순 있지만... 그러나 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.
2. 역사
3. 상세
수학 교육과정에서 가장 먼저 만나게 되는 무리수다. 보통 초등학교에서는 6학년 때부터 근삿값으로 보통 [math(3.14)]를 사용하며, [math(3)], [math(3.1)], [math(3.14)], [math(dfrac{22}7)] 같은 수도 사용하는데 중학교 이후로는 저런 거 없이 그냥 [math(pi)]를 붙이는 것으로 계산 끝. 사실 그냥 [math(pi)]를 쓰는 게 더 편하고 정확하다.
정수 2개의 비로 표현할 수 없는 무리수이기 때문에 자릿수가 무한하므로 각종 기록들을 양산하기도 한다. 가장 많은 수를 외운 사람이라든가 소수점 새로운 자릿수 계산이라든가 하는 등, 현재 기네스 북에서는 원주율에 관련된 기네스북 기록들이 더러 있다. 그 예로 소수점 이하 수백 자리까지 외우고 다니는 사람이 간혹 있을지도 모른다. 파인만 포인트는 애시당초 리처드 파인만이 자기는 762자리까지만 외운다면서 나온 수이고, 현재까지 인정된 기네스 공식 세계 기록은 중국인 차오 루의 6만 7890자리.[6]'에 출현하여 당시 기록을 세웠을 때의 일화를 소개하였다.] 일본인 하라구치 아키라의 기록으로는 8만 3431자리까지 외웠다고 하는데 이건 공식적으로 인정된 기록은 아니다.
하지만 실제로 소수점 이하 10자리 이상 쓰는 경우는 거의 없다.[7]이하로 측정할 수 있다.] 디지털 시스템에서 무리수를 사용할 방법이 없기 때문이다. 이게 가능하려면 해당 시스템이 무한한 정밀도를 표현할 수 있어야 한다. 실제로 이공계에서는 [math(3.14159)]까지 소수점 다섯째 자리까지 사용하는 것이 일반적이다. 천문, 우주항공, 전파 및 무선통신 분야라면 모를까, 일상 생활에서라면 대개 3.14만으로도 충분하다.
3월 14일의 진정한 의미라고 할 수 있겠다. 이 파이의 날을 기념해 진짜 파이를 먹는 사람들도 있다. 이 날은 원주율을 기념하기 위한 기념일이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값 [math(3.14)]을 기준으로 하여 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이자 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 흔히들 상상하는 것처럼 보통 파이(pie)를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율 외우기 대회가 열린다. 매사추세츠 공대(MIT)의 경우는 매년 합격자 발표일이 3월 14일이다. 그리고 새원주율을 기념하여 6시 28분에 발표한다.
분수 7분의 22가 [math(pi)]의 근삿값이므로 파이 근삿값의 날은 7월 22일이다.
공대에서는 삼각함수와 엮어서 매우 다양하게 사용한다. 특히 전자나 통신 계열에서는 한 학기의 절반은 [math(pi)]와 함께 보낸다. 그리고 대부분의 시간을 자연로그의 밑 [math(e)]와 함께 보낸다. 그러다가, 오일러 공식인 [math(e^{ix} = cos x + isin x)]로 인해서 복소수, [math(e)], 삼각함수, 지수함수가 아예 세트로 묶여 다닌다. 예를 들어, 해석학 교재인 PMA에서는 지수함수를 무한급수로 정의한 후 [math(ix)]를 대입한 실수/허수부를 각각 [math(cos x)], [math(sin x)]로 정의하고 [math(cos x)]의 최소 양근의 2배를 [math(pi)]로 정의한다.
원주율 [math(pi)] (또는 [math(tau)])와 자연로그의 밑 [math(e)]와 허수단위 [math(i)] 간에는 [math(e^{ipi} + 1 = 0)] (또는 [math(e^{itau} = 1)])의 관계가 성립한다. 이를 오일러 등식이라고 하며, 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 오일러의 공식에 [math(x = pi)] 또는 [math(tau)]를 대입하면 나오는 결과다. 이를 이용해서 무작정 [math(pi = - i lnleft(-1right))]라고 하는 경우가 많은데, 이는 틀린 표현이다.[8], 즉 [math(2pi = 0)]이라는 말도 안 되는 식이 나온다! 한편 [math(e^{2pi i} = 1)]이므로 [math(2pi i = ln1 = 0)]에서도 유도할 수 있다.] 엄밀히는 [math(e^{left(pi+2npiright)i}=-1)], 즉 [math(e^{itheta} = -1)]을 만족하는 [math(theta)]가 [math(pi)] 말고도 [math(-pi)], [math(3pi)], ……로 무수히 많아 하나로 특정되지 않기 때문에 복소수 [math(z)]의 편각 [math(theta = arg z)]가 [math(-pi<arg zlepi)]라는 조건을 붙여야 하며[9], 이 조건에서의 복소로그함수 표기 [math(mathrm{Log})]를 이용하여 [math(pi = -imathrm{Log},left(-1right))]로 나타내야 한다.
정적분으로도 정의할 수 있다. 아크사인 [math(arcsin)]의 도함수 [math((arcsin x)' = dfrac1{sqrt{1 - x^2}})]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(displaystyle pi = int^{1}_{-1} frac{mathrm dx}{sqrt{1-x^2}} = 2 int^1_0 (arcsin x)'mathrm dx)]
정수 2개의 비로 표현할 수 없는 무리수이기 때문에 자릿수가 무한하므로 각종 기록들을 양산하기도 한다. 가장 많은 수를 외운 사람이라든가 소수점 새로운 자릿수 계산이라든가 하는 등, 현재 기네스 북에서는 원주율에 관련된 기네스북 기록들이 더러 있다. 그 예로 소수점 이하 수백 자리까지 외우고 다니는 사람이 간혹 있을지도 모른다. 파인만 포인트는 애시당초 리처드 파인만이 자기는 762자리까지만 외운다면서 나온 수이고, 현재까지 인정된 기네스 공식 세계 기록은 중국인 차오 루의 6만 7890자리.[6]'에 출현하여 당시 기록을 세웠을 때의 일화를 소개하였다.] 일본인 하라구치 아키라의 기록으로는 8만 3431자리까지 외웠다고 하는데 이건 공식적으로 인정된 기록은 아니다.
하지만 실제로 소수점 이하 10자리 이상 쓰는 경우는 거의 없다.[7]이하로 측정할 수 있다.] 디지털 시스템에서 무리수를 사용할 방법이 없기 때문이다. 이게 가능하려면 해당 시스템이 무한한 정밀도를 표현할 수 있어야 한다. 실제로 이공계에서는 [math(3.14159)]까지 소수점 다섯째 자리까지 사용하는 것이 일반적이다. 천문, 우주항공, 전파 및 무선통신 분야라면 모를까, 일상 생활에서라면 대개 3.14만으로도 충분하다.
3월 14일의 진정한 의미라고 할 수 있겠다. 이 파이의 날을 기념해 진짜 파이를 먹는 사람들도 있다. 이 날은 원주율을 기념하기 위한 기념일이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값 [math(3.14)]을 기준으로 하여 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이자 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 흔히들 상상하는 것처럼 보통 파이(pie)를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율 외우기 대회가 열린다. 매사추세츠 공대(MIT)의 경우는 매년 합격자 발표일이 3월 14일이다. 그리고 새원주율을 기념하여 6시 28분에 발표한다.
분수 7분의 22가 [math(pi)]의 근삿값이므로 파이 근삿값의 날은 7월 22일이다.
공대에서는 삼각함수와 엮어서 매우 다양하게 사용한다. 특히 전자나 통신 계열에서는 한 학기의 절반은 [math(pi)]와 함께 보낸다. 그리고 대부분의 시간을 자연로그의 밑 [math(e)]와 함께 보낸다. 그러다가, 오일러 공식인 [math(e^{ix} = cos x + isin x)]로 인해서 복소수, [math(e)], 삼각함수, 지수함수가 아예 세트로 묶여 다닌다. 예를 들어, 해석학 교재인 PMA에서는 지수함수를 무한급수로 정의한 후 [math(ix)]를 대입한 실수/허수부를 각각 [math(cos x)], [math(sin x)]로 정의하고 [math(cos x)]의 최소 양근의 2배를 [math(pi)]로 정의한다.
원주율 [math(pi)] (또는 [math(tau)])와 자연로그의 밑 [math(e)]와 허수단위 [math(i)] 간에는 [math(e^{ipi} + 1 = 0)] (또는 [math(e^{itau} = 1)])의 관계가 성립한다. 이를 오일러 등식이라고 하며, 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 오일러의 공식에 [math(x = pi)] 또는 [math(tau)]를 대입하면 나오는 결과다. 이를 이용해서 무작정 [math(pi = - i lnleft(-1right))]라고 하는 경우가 많은데, 이는 틀린 표현이다.[8], 즉 [math(2pi = 0)]이라는 말도 안 되는 식이 나온다! 한편 [math(e^{2pi i} = 1)]이므로 [math(2pi i = ln1 = 0)]에서도 유도할 수 있다.] 엄밀히는 [math(e^{left(pi+2npiright)i}=-1)], 즉 [math(e^{itheta} = -1)]을 만족하는 [math(theta)]가 [math(pi)] 말고도 [math(-pi)], [math(3pi)], ……로 무수히 많아 하나로 특정되지 않기 때문에 복소수 [math(z)]의 편각 [math(theta = arg z)]가 [math(-pi<arg zlepi)]라는 조건을 붙여야 하며[9], 이 조건에서의 복소로그함수 표기 [math(mathrm{Log})]를 이용하여 [math(pi = -imathrm{Log},left(-1right))]로 나타내야 한다.
정적분으로도 정의할 수 있다. 아크사인 [math(arcsin)]의 도함수 [math((arcsin x)' = dfrac1{sqrt{1 - x^2}})]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(displaystyle pi = int^{1}_{-1} frac{mathrm dx}{sqrt{1-x^2}} = 2 int^1_0 (arcsin x)'mathrm dx)]
4. 원주율의 배수
원주율의 두 배의 값을 갖는 새로운 기준 상수를 정의해야 한다고 주장하는 수학자들이 있다. 자세한 내용은 타우(수학) 문서 참조.
원주율 파이의 정의는 본래 원의 둘레를 구한다는 문제를 해결하기 위해 등장한 것으로, 지름-둘레의 관계를 나타내고 있다. 그런데 지름을 기준으로 하는 이 상수는 반지름을 기준으로 여러 상호작용을 이루는 현대 수학과 과학에 있어 매우 부자연스럽고 불편하다. 때문에 매번 [math(2pi)]를 쓰는 대신, [math(2pi=6.2831cdotscdots)]의 값을 갖는 상수를 도입하여 사용하자는 것이다.[10] 실제로 원은 반지름으로 정의되기에 반지름 대 원주의 비로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다. 이들은 기념일도 3월 14일 대신 이의 2배인 6월 28일에 원주율을 기념한다. 그러면 원주의 길이는 [math(tau r)], 원의 넓이는 [math(dfrac12 tau r^2)], 구의 겉면적은 [math(2 tau r^2)], 구의 부피는 [math(dfrac23 tau r^3)]이 된다. 매번 두 배를 곱할 필요가 없어지고 식이 깔끔해지는 모습을 볼 수 있다. 여기에서 출발하는 각종 응용 개념과 공식은 더욱 효과가 크게 나타날 것이다.
5. 값
원주율 소수점 이하 10000자리 [접기 · 펼치기]
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이 사이트에서 특정 문자열이 원주율의 몇 번째 자리에서 등장하는지 검색할 수 있다. 2억 번째 자리까지 지원하므로, 파인만 포인트 찾으려고 999999 입력하는 것 정도는 순식간에 처리한다.
앱도 있고, 새 원주율(타우) 버전도 있다.
위의 수에서 뭔가 규칙을 찾아냈다면 높은 확률로 당신의 착각이다. 첫자리 3을 포함하여 359, 360, 361번째 수는 각각 3, 6, 0이고, 몇 십억 혹은 조 자리까지 뒤로 가면 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0이 순서대로 나오는 등 흥미로운 숫자 조합이 많이 나오지만 이런 예들은 어디까지나 10진법 표기에 의해 일어난 현상일 뿐 전혀 수학적인 규칙이 아니다.[11] #뉴턴 포스트
만약 발견한 것이 '꽤 오래 반복되는' 순환소수 부분이라면 파이를 조금 더 근사치에 가까운 유리수처럼 표기할 방법이 생기므로 미미한 의미가 있다. 가장 유명한 예로 762번째부터 767번째까지 9가 연달아 나오며, 이 부분을 파인만 포인트라 부른다.[12]
콘택트의 마지막 장면에선 우주의 창조자가 한 없이 긴 원주율의 소숫점 뒷자리에 숨겨놓은 규칙성과 메시지들을 발견했다.
더 지니어스:그랜드 파이널/5화 메인매치에서 4자리씩 120자리까지 제시되었다.
6. 계산법
원주율의 값을 계산하는 방법도 여러 가지가 있다. 보통 무한급수를 이용하는데, 원주율과 관련된 무한급수 또는 무한곱으로 다음과 같은 것들이 있다.
발견 년도
| 발견자
| 수식
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1593
| [math(dfrac2{pi}=dfrac{sqrt2}2cdotdfrac{sqrt{2+sqrt2}}2cdotdfrac{sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}2cdotcdotscdots)]
| |
1655
| [math(displaystyle frac{pi}2=prod_{n=1}^inftyleft(frac{2n}{2n-1}cdotfrac{2n}{2n+1}right) \ =frac21cdotfrac23cdotfrac43cdotfrac45cdotfrac65cdotfrac67cdotcdotscdots)]
| |
1671(1674)
| [math(displaystyle fracpi4=sum_{n=0}^inftyfrac{left(-1right)^n}{2n+1} \ =1-frac13+frac15-frac17+frac19-cdotscdots)]
| |
1706
| 존 마틴
| [math(displaystyle fracpi4=4tan^{-1}left(frac15right)-tan^{-1}left(frac1{239}right) \ =sum_{n=1}^inftyleft(frac{4(-1)^{k-1}}{2k-1}left(frac15right)^{2k-1}-frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}left(frac1{239}right)^{2k-1}right))]
|
1735
| [math(displaystyle frac{pi^2}6=sum_{n=1}^inftyfrac1{n^2} \ =1+frac1{2^2}+frac1{3^2}+frac1{4^2}+cdotscdots)][18]
| |
[math(displaystyle frac{pi^2}8=sum_{n=0}^inftyfrac1{left(1+2nright)^2} \ =1+frac1{3^2}+frac1{5^2}+frac1{7^2}+cdotscdots)][20]
| ||
[math(displaystyle frac{pi^2}{12}=sum_{n=1}^inftyfrac{left(-1right)^{n+1}}{n^2} \ =1-frac1{2^2}+frac1{3^2}-frac1{4^2}+cdotscdots)]
| ||
1914
| [math(displaystyle frac1pi=frac{2sqrt2}{99^2} sum_ {n=0}^infty frac{(4n)!}{left(n!right)^4}cdotfrac{26390n+1103}{396^{4n}})]
|
테일러 시리즈를 이용한 기계적인 증명이 아니라, 기하학적인 증명은 다음 영상을 참고.
- 존 월리스의 공식: 3Blue1Brown의 'The Wallis product for pi, proved geometrically'
1의 거듭제곱근에 대한 성질과 인수정리 등을 이용한다. 복소수에 대한 이해가 필요하다. - 라이프니츠의 공식: 3Blue1Brown의 '소수의 규칙성에 숨어있는 파이([math(pi)])'
원의 면적과 복소평면에서의 소수의 규칙성을 이용하여 유도/증명한다. 소수와 복소수에 대한 이해가 필요하다.
우변의 무한급수를 등대에서 나오는 빛의 세기로 비유하여 설명한다. 15:31까지는 [math(dfrac{pi^2}8)]로 시작하는 6번째 공식을 유도하고, 그 이후로는 이 공식에서 원래 공식을 유도한다.
7. 원주율 근삿값 계산의 역사
8. 원주율 암기법(?)
몇 가지 외우는 방법이 나와 있지만, 사실 그냥 외우는게 더 빠르기 때문에 기억술이라고 하기는 애매하다. 원주율의 숫자를 이용한 재밌는(?) 장난이라고 보는게 좋을 듯.
원주율을 소수점 아래 열네 자리까지 암기할 수 있는 다음 영어 문장이 가장 유명하다. 각 단어의 철자 수에 주목.
원주율을 소수점 아래 열네 자리까지 암기할 수 있는 다음 영어 문장이 가장 유명하다. 각 단어의 철자 수에 주목.
How I want a drink, alcoholic of course after the heavy lectures involving quantum mechanics!
(양자역학을 포함한 어려운 강의 후에는 얼마나 한 잔이 하고 싶은지!)
위 문장의 철자 수를 배열해보면 3.14159 26535 8979가 된다.
오르(A. C. Or)라는 사람이 만든 시도 있다.
오르(A. C. Or)라는 사람이 만든 시도 있다.
Now I, even I, would celebrate
In rhymes unapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance
How to circles mensurate...
심지어 나 같은 이라도, 서툰 운율로라도,
더 이상 견줄 사람 없을
영원불멸의 시라쿠사인을 찬양하리다.
우리에게 전승되었던
훌륭한 이야기 속에
사람들에게 방법을 남겨 주었지
어떻게 측정을 원[23] 하는지를...
"돌고래가 모직 남방 만들며 아침 산책 도는 동안 럭비나 봐라."
이건 다음과 같이 글자의 초성을 숫자로 바꾼다.
ㄱ
| ㄴ
| ㄷ
| ㄹ
| ㅁ
| ㅂ
| ㅅ
| ㅇ
| ㅈ/ㅊ
|
1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
|
숫자로 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 264(23자리)가 된다.
다행히(?) 원주율의 소수점 32자리 숫자는 0이므로, 각 자릿수를 하나의 단어로 대용하는 규칙을 사용하면서 문장을 32단어 이상으로 확장할 수 없다. 물론 위 한글 버전처럼 0에 대응하는 문자를 배당해 사용하거나, 혹은 10자리 단어를 0으로 계산한다면 가능하다.
다행히(?) 원주율의 소수점 32자리 숫자는 0이므로, 각 자릿수를 하나의 단어로 대용하는 규칙을 사용하면서 문장을 32단어 이상으로 확장할 수 없다. 물론 위 한글 버전처럼 0에 대응하는 문자를 배당해 사용하거나, 혹은 10자리 단어를 0으로 계산한다면 가능하다.
9. 유의미한 원주율?
NASA 제트추진연구소의 엔지니어인 Marc Rayman에 따르면, 관측 가능한 우주를 기준으로 원주율을 통해 우주의 둘레를 계산할 때, 약 1nm 수준의 오차 이내로 계산하려면 원주율 소숫점 39~40자리까지만 계산해도 된다고 한다. JPL - How many decimals of Pi do we really need? 또한 NASA에서 실제로 로켓, 인공위성 등을 개발할 때 원주율 15자리[24]만 사용한다고 전하였다.
따라서, 실제 물리학에서 원주율이 사용되는 연산을 할 때 대부분의 경우에는 20자리 이상의 원주율을 사용하는 것은 거의 의미가 없다고 봐도 무방[25]할 것이다.
따라서, 실제 물리학에서 원주율이 사용되는 연산을 할 때 대부분의 경우에는 20자리 이상의 원주율을 사용하는 것은 거의 의미가 없다고 봐도 무방[25]할 것이다.
10. 여담
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- 10진법으로 나타내고 음계를 붙이면 이렇게 된다. 조성은 C major.
- 새원주율(타우) 버전도 있다.
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- PIE를 거울에 비춰보면 3.14와 비슷한 형태가 된다고 한다.참고
- 영화 라이프 오브 파이에서 주인공이 학교에서 이상한 이름을 가졌다는 이유로 피싱(오줌싸다)이라는 별명으로 놀림받자 자신을 다른 이름으로 부르게 하기 위해 원주율을 외워 별명이 파이로 바뀌었다.
- 비밀번호 유출 확인 사이트에 확인해본 결과, 원주율 소숫점 아래 25번째 자리까지 비밀번호로 쓰는 사람이 있다는 게 확인되었다.
- 아동 수학 학습만화에서 빠지지 않고 나오는 것이 바로 이 [math(pi)]의 기원에 대한 농담이다. 앗! 시리즈의 '수학이 또 수군수군'에서도 다음과 같이 나온다.
- 한자 兀(우뚝할 올)과 기호가 비슷하다.
- 질량이 [math(1,rm kg)]인 물체 [math(A)]가 마찰이 없는 평면 위에 벽면을 바라보고 정지하여 있을 때, 질량이 [math(100^{n-1},rm kg)]인 물체 [math(B)]가 벽면과 수직인 방향으로 [math(A)]를 향해 일직선으로 다가와 탄성 충돌하면, 물체 [math(A)]는 원주율의 정수부와 소수점 이하 [math(n)]자리까지의 숫자로 표기되는 정수만큼 충돌한다. 물리엔진 구현 수학적인 증명
물론 위 방법을 실제로 원주율 값을 계산하는 데에는 쓸 수 없다. 고작 원주율 [math(20)]자리 구하는데 물체 하나의 질량이 [math(1,rm kg)]이라면 다른 하나의 물체로 놔 두어야 하는 물체의 질량은 무려 [math(mathbf{10^{38}, kg})]으로 이는 우리 은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀 질량의 10배와 맞먹는다! [math(1,rm kg)]의 물체와 충돌해도 미동도 하지 않을 벽과, [math(mathbf{10^{38}, kg})]의 물체에 의한 중력을 무시할 수 있는 [math(1,rm kg)]의 물체가 필요하다. 게다가, 충돌 횟수를 일일이 세어줘야 하기 때문에 20자리 구할 때만 해도 3141경이 넘는 충돌 횟수를 다 세어야 하고, 그것마저도 천천히 충돌하는 것도 아니라 1초에 엄청 많은 충돌을 일으키기 때문에...[45]회 정도의 충돌이 일어난다. 또한, 작은 물체의 속력은 초기 큰 물체 속력의 1000경 배가 되기 때문에, 아무리 큰 물체의 초기 속력이 나노미터 단위여도 나중에는 특수 상대성 이론을 고려해야 할 시기가 온다.] - 원주율을 천자문을 이용해서 외운 어르신도 있다.
- 원주율의 제곱은 m/s2의 단위로 나타낸 지구 지표면에서 중력가속도의 크기와 상당히 비슷하다. 우연이 아니라 미터법 초기 미터를 진자로 정의하려던 시도의 흔적이다.
[1] 원주율의 10만자리 [2] 영어식으로 발음했을 때나 '파이'이지, 원어인 그리스어 발음으로는 '삐'(외래어 표기법으로는 '피')다.[3] 딱 한 장이다![4] 딱 한 장이다![5] 딱 한 장이다![6] 최근 EBS의 다큐프라임 넘버스 1부 '하늘의 수 - [math(pi)[7] NASA가 우주선의 달 착륙에 관련된 계산을 할 때도 5자리 정도로 충분했고 10자리만 있어도 지구 지름의 오차를 [math(1,rm mm)[8] 이게 참이라면 [math(2pi = -2ilnleft(-1right) = -ileft{lnleft(-1right)+lnleft(-1right)right} = -ilnleft{left(-1right)left(-1right)right} = -iln 1 = 0)[9] 이를 '주요값(principal value)'이라고 한다.[10] 한 미국 물리학자의 파이 반박문, 우리나라 뉴스[11] 다른 예로, 초월수가 실존함을 보이기 위해 자연수를 일렬로 늘어놓고 앞에 소수점 하나 찍어서 (0.12345678910111213...) 초월수를 만들어내기도 했다.[12] 172,330,850 ~ 172,330,858번째까지 자리엔 0이 연속 8번이나 나오며, 24,658,601 ~ 24,658,609번째 자리엔 7이 무려 연속 9번 나온다. 이는 전체를 통틀어 가장 처음으로 9번 연속된 숫자다.[13] 제임스 그리고리는 Madhava of Sangamagrama가 발견한 [math(displaystyle arctan x=sum_{n=0}^inftyfrac{left(-1right)^n x^{2n+1}}{2n+1} =x-frac{x^3}3+frac{x^5}5-frac{x^7}7+frac{x^9}9-cdotscdots)[14] 근데 이걸로 근사값 구하기가 좀 거시기한 게 이녀석 수렴 속도가 느려터져서 십만 개의 항을 계산해야 [math(3.1415mathbf8cdotscdots)[15] 제임스 그리고리는 Madhava of Sangamagrama가 발견한 [math(displaystyle arctan x=sum_{n=0}^inftyfrac{left(-1right)^n x^{2n+1}}{2n+1} =x-frac{x^3}3+frac{x^5}5-frac{x^7}7+frac{x^9}9-cdotscdots)[16] 근데 이걸로 근사값 구하기가 좀 거시기한 게 이녀석 수렴 속도가 느려터져서 십만 개의 항을 계산해야 [math(3.1415mathbf8cdotscdots)[17] 바젤 문제라는 빛의 세기에 관한 문제를 해결하면서 우연히 발견. 즉, 자연수 제곱의 역수들의 합(우변)을 계산하려고 하니 우연치 않게 원주율(좌변)이 나왔던 것.[18] 바젤 문제라는 빛의 세기에 관한 문제를 해결하면서 우연히 발견. 즉, 자연수 제곱의 역수들의 합(우변)을 계산하려고 하니 우연치 않게 원주율(좌변)이 나왔던 것.[19] 기하학적인 의미로 따졌을 때 바로 위의 공식보다 더 근본적인 공식으로, 이 식을 이용하여 위의 식을 곧바로 유도 할 수 있다.[20] 기하학적인 의미로 따졌을 때 바로 위의 공식보다 더 근본적인 공식으로, 이 식을 이용하여 위의 식을 곧바로 유도 할 수 있다.[21] 원문의 마지막 줄은 'How to mensurate circles(어떻게 원을 측정하는지를)'이 되어야 맞다.[22] 원문의 마지막 줄은 'How to mensurate circles(어떻게 원을 측정하는지를)'이 되어야 맞다.[23] 원문의 마지막 줄은 'How to mensurate circles(어떻게 원을 측정하는지를)'이 되어야 맞다.[24] 3.141592653589793[25] 만약 우리가 일상에서 볼 수 있는 구형 물체의 둘레를 구할 때 100자리 쯤 되는 원주율을 사용한다면, 오차 범위는 원자핵 보다도 훨씬 작아지게 된다(..)[26] 재생 시간이 6분 58초로 단일 곡 치고는 상당히 긴 편이다. 그마저도 아래쪽에 있는 원곡에 비하면 조족지혈이라고 봐야 할 수준으로 짧다.[27] 맨 마지막에 10,239자리까지 나오지만 소수점도 1자리로 치고 카운팅을 했기에 10,238자리이다.[28] 이쪽은 재생 시간이 무려 1시간 8분 20초나 된다. 대한민국 가요 사상 단일 곡 중 가장 길다는 태초의 노래, 노래의 종말보다도 2분 14초나 더 길다.[29] 40초 쯤에 '...5105820974944...'가 맞으나 '...51058204944...'라고 나와있다.[우회필요] 30.1 30.2 저작권 문제로 막혀 있다.[31] 원문에서는 Pi? Why?라고 운율이 만들어지는 것도 소소한 포인트.[32] 첫 번째 충돌 후 두 번째 충돌까지의 시간을 100초로 두면, 200초 정도가 경과한 시점에서 무려 1초에 [math(5times10^{35})[33] 재생 시간이 6분 58초로 단일 곡 치고는 상당히 긴 편이다. 그마저도 아래쪽에 있는 원곡에 비하면 조족지혈이라고 봐야 할 수준으로 짧다.[34] 맨 마지막에 10,239자리까지 나오지만 소수점도 1자리로 치고 카운팅을 했기에 10,238자리이다.[35] 이쪽은 재생 시간이 무려 1시간 8분 20초나 된다. 대한민국 가요 사상 단일 곡 중 가장 길다는 태초의 노래, 노래의 종말보다도 2분 14초나 더 길다.[36] 재생 시간이 6분 58초로 단일 곡 치고는 상당히 긴 편이다. 그마저도 아래쪽에 있는 원곡에 비하면 조족지혈이라고 봐야 할 수준으로 짧다.[37] 맨 마지막에 10,239자리까지 나오지만 소수점도 1자리로 치고 카운팅을 했기에 10,238자리이다.[38] 이쪽은 재생 시간이 무려 1시간 8분 20초나 된다. 대한민국 가요 사상 단일 곡 중 가장 길다는 태초의 노래, 노래의 종말보다도 2분 14초나 더 길다.[39] 맨 마지막에 10,239자리까지 나오지만 소수점도 1자리로 치고 카운팅을 했기에 10,238자리이다.[40] 이쪽은 재생 시간이 무려 1시간 8분 20초나 된다. 대한민국 가요 사상 단일 곡 중 가장 길다는 태초의 노래, 노래의 종말보다도 2분 14초나 더 길다.[41] 40초 쯤에 '...5105820974944...'가 맞으나 '...51058204944...'라고 나와있다.[43] 원문에서는 Pi? Why?라고 운율이 만들어지는 것도 소소한 포인트.[44] 원문에서는 Pi? Why?라고 운율이 만들어지는 것도 소소한 포인트.[45] 첫 번째 충돌 후 두 번째 충돌까지의 시간을 100초로 두면, 200초 정도가 경과한 시점에서 무려 1초에 [math(5times10^{35})