• [math(emptyset,,Xin mathcal{T})]
  
• [math(left{A_{alpha}:alphain Iright}subset mathcal{T})]에 대해, [math({displaystyle bigcup_{alphain I}A_{alpha}}in mathcal{T})]
  
• [math(A,,Bin mathcal{T})]에 대해, [math(Acap Bin mathcal{T})]이다.
  

• 임의의 유한개의 [math(A_{alpha}inmathcal{T}left(alphainleft{1,2,3,...,mright}right))]에 대하여, [math({displaystyle bigcap_{alpha=1}^{m}A_{alpha}inmathcal{T}})]
  

• [math(left{emptyset,Xright})]은 위상 공간이다.이 위상 공간을 비이산 위상(Indiscrete topology)이라고 한다.
  

• [math(X)]의 부분집합을 모두 모으면 위상 공간이다. 이 위상 공간을 이산 위상(Discrete topology)이라고 한다.
  

• [math(bigcup mathcal{B}=X)]
  
• [math(U,,Vin mathcal{B})], [math(ain Ucap V)]에 대해 [math(Win mathcal{B})]가 존재하여 [math(ain Wsubset Ucap V)]이다.
  

• [math(mathcal{T}=left{bigcup mathcal{U}:mathcal{U}subset mathcal{B} right})][5]. [math(mathcal{U})]의 모든 원소들의 합집합.]가 위상이다.
  

• [math(left{{displaystyle bigcap_{i=1}^{n}}U_{i}:U_{i}in mathcal{S}right})]가 기저이다.
  

• [math(f)]가 전단사(bijection)
  
• [math(f)]가 연속함수
  
• [math(f^{-1})]가 연속함수
  

• 내부(interior)
  [math(A^{circ}:=bigcupleft{ Uin mathcal{T}:Usubset Aright} )]
  위상공간의 정의에 따라서 이는 열린 집합이다. 그리고, 이는 [math(A)]에 포함되는 열린 부분집합 중 가장 큰 것이다. 정의에 따라서, [math(ain A^{circ}leftrightarrow exists ain Uin mathcal{T} quad Usubset A)]이다. [math(ain A^{circ})]를 내점이라 한다.
  책에 따라 [math(mathrm{Int}A)]라는 표기를 쓰기도 한다.
  

• 폐포(closure)
  [math(overline{A}:=bigcapleft{ Fsupset_{text{closed}}Aright} )]
  위상공간의 정의에 따라서 이는 닫힌 집합이다. 그리고, 이는 [math(A)]를 포함하는 닫힌 집합(supserset) 중 가장 작은 것이다. 정의에 따라서, [math(ain overline{A}leftrightarrow forall ain Fsubset_{text{closed}} quad Fcap Ane emptyset)]이다.
  

• 경계(boundary)
  [math(partial A:=left{ ain X:exists Uin mathcal{T}, ain U,Ucap Aneemptyset,, Ucap A^{c}neemptysetright} )][7]을 사용했는지는, 스토크스 정리(Stokes' theorem)을 통해 알 수 있다. ]
  

• 집적점(accumulation point), 극한점(limit point), 폐포점(closure point)
  임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 κ개 이상의 점들을 공유하는 점이다.
  [math(x)]가 [math(A)]의 집적점이라 함은 [math(x)]를 포함하는 임의의 열린집합 [math(U)]에 대하여 [math((U- left{ x right})cap Ane emptyset )]를 만족하는 것이다.
  그 때, κ=2가 되는 2-집적점이 극한점이고, κ=1이 되는 1-집적점이 폐포점이다.
  

• 유도집합(derived set) : 극한점(limit point, accumulation point)들의 모임
  [math(A':=left{ ain X:forall Uin mathcal{T}quadleft{ aright} subsetneq Ucap Aright} )]
  

• [math(overline{A}^{c}=left(A^{c}right)^{circ})]
  
• [math(overline{overline{A}}=overline{A})]
  
• [math(left(A^{circ}right)^{circ}=A^{circ})]
  
• [math(overline{Acup B}=overline{A}cupoverline{B})]
  
• [math(overline{Acap B}subsetoverline{A}capoverline{B})]
  [math(overline{left(0,,1right)cap left(1,,2right)}=emptyset subsetneqleft{1right}=overline{left(0,,1right)}capoverline{left(1,,2right)})]
  
• [math(bigcupoverline{A_{alpha}}subsetoverline{bigcup A_{alpha}})]
  [math({displaystyle bigcup_{nin N}}overline{left[n^{-1},,1right]}=left(0,,1right]subsetneqleft[0,1right]=overline{{displaystyle bigcup_{nin N}}left[n^{-1},,1right]})]
  
• [math(A^{circ}cappartial A=emptyset, overline{A}=A^{circ}cuppartial A)]
  
• [math(partial A=emptysetleftrightarrowoverline{A}=A=A^{circ})]
  

• 상자 위상
  [math(left{ prod U_{alpha}:U_{alpha}subset_{text{open}}X_{alpha}right} )]를 기저로 하는 위상.
  

• 곱위상
  [math(left{ pi_{alpha}^{-1}left(U_{alpha}right):U_{alpha}subset_{text{open}}X_{alpha}right} )]를 부분기저로 하는 위상.
  

서로 다른 두 점 [math(a,,bin X)]에 대해, [math(ain Usubset_{text{open}}X)], [math(bin Vsubset_{text{open}}X)]가 존재하여 [math(anotin V)], [math(bnotin U)]이다.

서로 다른 두 점 [math(a,,bin X)]에 대해, [math(ain Usubset_{text{open}}X)], [math(bin Vsubset_{text{open}}X)]가 존재하여 [math(Uperp V)]이다.

하우스 도르프 공간으로 가는 두 연속함수가 정의역의 조밀집합에서의 함수값이 같으면 두 함수는 같다.

[math(ain X)], [math(Bsubset_{text{closed}} X)]에 대해, [math(aperp B)]이면, [math(ain Usubset_{text{open}}X)], [math(Bsubset Vsubset_{text{open}}X)]가 존재하여 [math(Uperp V)]이다.

[math(ain X)], [math(Bsubset_{text{closed}} X)]에 대해, [math(aperp B)]이면, 연속함수 [math(f:Xto left[0,,1right])]가 존재하여 [math(fleft(aright)=0, fleft(Bright)=left{1right})]이다.

[math(A,,Bsubset_{text{closed}} X)]에 대해, [math(Aperp B)]이면, [math(Asubset Usubset_{text{open}}X)], [math(Bsubset Vsubset_{text{open}}X)]가 존재하여 [math(Uperp V)]이다.

• 우리손 보조정리(Urysohn Lemma)
  
  

정규공간[math(X)]의 만나지 않는 두 닫힌 부분집합 [math(A)],[math(B)]에 대해, 연속함수가[math(h:X tomathbb{R})] 이 [math(h(x)=0(xin A))] 이고[math(h(x)=1(xin B))] 를 만족하는것이 존재한다.

• 티체의 확장정리(Tietze Extension Theorem)
  
  

정규공간의 닫힌 집합에서 정의된 연속함수는 전체공간의 연속함수로 확장가능하다.

모든 점에서 가산국소기저를 갖는다.

가산기저를 갖는다.

[math(Osubset T)]가 [math(Ksubsetbigcup O)]이라면, [math(O)]의 가산 부분집합 [math(O')]이 존재하여 [math(Ksubsetbigcup O')]이다.

가산 부분집합 [math(Dsubset X)]가 존재하여[math(overline{D}=X)]

[math(X)]의 위상이 [math(T)]로 주어졌다고 하자. [math(Ksubset X)]가 콤팩트 집합라 함은 다음을 만족하는 것이다. [math(Osubset T)]가 [math(Ksubsetbigcup O)]라 면, [math(O)]의 유한 부분집합 [math(O')]이 존재하여 [math(Ksubsetbigcup O')]이다.

[math(X)]가 콤팩트 집합일 때, [math(X)]는 콤팩트 공간이라 한다.

• 르베그 수 보조정리(Lebesgue number lemma)
  

콤팩트 거리 공간 [math(X)]의 임의의 열린덮개 [math(O)]에 대해, [math(delta>0)][11]이 존재하여 임의의 부분집합 [math(Ssubset X)]의 직경[12]으로 정의한다. 여기서 [math(d)]는 거리함수이다. 간단히 말해서 집합 X의 두 점을 임의로 추출했을 때, 그 두 점이 가질 수 있는 최대거리의 상한을 의미.]이 [math(delta)]보다 작으면 [math(Uin O)]가 존재하여 [math(Ssubset U)]이다.

임의의 수열은 수렴하는 부분열을 갖는다.

임의의 무한집합 [math(Asubset X)]는 극한점을 갖는다.

• 점에서의 국소 콤팩트
  

[math(pin X)]에서의 국소 콤팩트성
열린 집합 [math(U)], 콤팩트 집합 [math(K)]가 존재하여 [math(pin Usubset K)]이다.

• 전체에서의 국소 콤팩트
  

임의의 [math(pin X)]에서 국소 콤팩트면, [math(X)]는 국소 콤팩트이다.

• 하우스도르프 국소 콤팩트 공간에 한 점 [math(infty)]을 추가하여 위상을 적절히 주면, 하우스도르프 콤팩트 공간이 되고 기존의 공간을 부분공간으로 갖는다. 이를 한점 콤팩트화(one point compactification)이라 한다. 이때 적절한 위상이란, locally compact space를 X라고 두면, 임의의 점 p를 추가해 Y = X U {p}라고 두자.
  

• 거리 공간에서 콤팩트성, 점렬 콤팩트성, 극한점 콤팩트성은 모두 동치이다. 거리공간이 아닌 경우 반례가 종종 성립하는데, 위상수학을 공부하는 학생이라면 이 반례들을 제대로 외워두길 바란다. 보통 자주 나오는 예시는, I^I(I = [0,1] 에 대해 I로 product를 건 것, 즉, f : [0,1] → [0,1] 인 함수공간, topology는 product topology) 와 같은 것들이다.