1. 개요
2. 상세
2.1. 르장드르 형태
2.1.1. 제1종 타원 적분
불완전 제1종 타원 적분(Incomplete Elliptic Integral of the First Kind)은 다음과 같이 정의되는 함수이다.
[math(displaystyle F(phi,,k) := int_{0}^{phi} frac{1}{sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta} }},mathrm{d}theta qquad (0 leq k leq 1) )]
특히, [math(phi=pi/2)]인 경우를 완전 제1종 타원 적분(Complete Elliptic Integral of the First Kind)이라 하며
[math(displaystyle K(k) := int_{0}^{pi/2} frac{1}{sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta} }},mathrm{d}theta qquad (0 leq k leq 1) )]
로 정의된다.
[math(displaystyle F(phi,,k) := int_{0}^{phi} frac{1}{sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta} }},mathrm{d}theta qquad (0 leq k leq 1) )]
특히, [math(phi=pi/2)]인 경우를 완전 제1종 타원 적분(Complete Elliptic Integral of the First Kind)이라 하며
[math(displaystyle K(k) := int_{0}^{pi/2} frac{1}{sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta} }},mathrm{d}theta qquad (0 leq k leq 1) )]
로 정의된다.
2.1.2. 제2종 타원 적분
불완전 제2종 타원 적분(Incomplete Elliptic Integral of the Second kind)은 다음과 같이 정의되는 함수이다.
[math(displaystyle E(phi,,k) := int_{0}^{phi} sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta}},mathrm{d}theta qquad (0 leq k leq 1) )]
특히, [math(phi=pi/2)]인 경우를 완전 제2종 타원 적분(Complete Elliptic Integral of the Second Kind)이라 하며
[math(displaystyle E(k) := int_{0}^{pi/2} sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta}},mathrm{d}theta qquad (0 leq k leq 1) )]
로 정의된다.
[math(displaystyle E(phi,,k) := int_{0}^{phi} sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta}},mathrm{d}theta qquad (0 leq k leq 1) )]
특히, [math(phi=pi/2)]인 경우를 완전 제2종 타원 적분(Complete Elliptic Integral of the Second Kind)이라 하며
[math(displaystyle E(k) := int_{0}^{pi/2} sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta}},mathrm{d}theta qquad (0 leq k leq 1) )]
로 정의된다.
2.2. 야코비 형태
야코비 형태의 유도는 위의 르장드르 형태에서 라이프니츠 표기법을 이용하여 변수를 치환하는 것부터 시작한다.
[math(displaystyle t := sin{theta} )]
라 놓으면
[math(displaystyle mathrm{d}theta=frac{mathrm{d}t}{cos{theta}}=frac{mathrm{d}t}{sqrt{1-t^{2} }})]
가 되고, 적분 영역은
[math(displaystyle 0 leq theta leq phi ,to, 0 leq t leq x )]
로 바뀐다. 여기서 [math(x := sin{phi})]이다.
이것을 이용하여 야코비 형태로 바꿀 수 있다.
[math(displaystyle t := sin{theta} )]
라 놓으면
[math(displaystyle mathrm{d}theta=frac{mathrm{d}t}{cos{theta}}=frac{mathrm{d}t}{sqrt{1-t^{2} }})]
가 되고, 적분 영역은
[math(displaystyle 0 leq theta leq phi ,to, 0 leq t leq x )]
로 바뀐다. 여기서 [math(x := sin{phi})]이다.
이것을 이용하여 야코비 형태로 바꿀 수 있다.
2.2.1. 제1종 타원 적분
야코비 형태의 불완전 제1종 타원 적분은 아래와 같다.
[math(displaystyle F(x,,k) := int_{0}^{x} frac{1}{sqrt{1-t^{2}}sqrt{1-k^{2}t^{2} }},mathrm{d}t qquad (0 leq k leq 1) )]
완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.
[math(displaystyle K(k) := int_{0}^{1} frac{1}{sqrt{1-t^{2}}sqrt{1-k^{2}t^{2}} },mathrm{d}t qquad (0 leq k leq 1) )]
참고로, 완전 제1종 타원 적분은 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} K(k) &=frac{pi}{2} left[1+ sum_{n=1}^{infty }left [ frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} right ]^{2}{k^{2n}} right]\& =frac{pi}{2} sum_{n=0}^{infty }left [ frac{(2n)!}{2^{2n}left(n!right)^{2}} right ]^{2}k^{2n} end{aligned})]
[math(displaystyle F(x,,k) := int_{0}^{x} frac{1}{sqrt{1-t^{2}}sqrt{1-k^{2}t^{2} }},mathrm{d}t qquad (0 leq k leq 1) )]
완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.
[math(displaystyle K(k) := int_{0}^{1} frac{1}{sqrt{1-t^{2}}sqrt{1-k^{2}t^{2}} },mathrm{d}t qquad (0 leq k leq 1) )]
참고로, 완전 제1종 타원 적분은 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} K(k) &=frac{pi}{2} left[1+ sum_{n=1}^{infty }left [ frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} right ]^{2}{k^{2n}} right]\& =frac{pi}{2} sum_{n=0}^{infty }left [ frac{(2n)!}{2^{2n}left(n!right)^{2}} right ]^{2}k^{2n} end{aligned})]
2.2.2. 제2종 타원 적분
야코비 형태의 불완전 제2종 타원 적분은 아래와 같다.
[math(displaystyle E(x,,k) := int_{0}^{x} frac{sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{sqrt{1-t^{2} }},mathrm{d}t qquad (0 leq k leq 1) )]
완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.
[math(displaystyle E(k) := int_{0}^{1} frac{sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{sqrt{1-t^{2} }},mathrm{d}t qquad (0 leq k leq 1) )]
완전 제1종 타원 적분의 경우와 마찬가지로 완전 제2종 타원 적분도 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
[math(displaystyle E(k) =frac{pi}{2} left[1- sum_{n=1}^{infty }left [ frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} right ]^{2} frac{k^{2n}}{2n-1} right] )]
[math(displaystyle E(x,,k) := int_{0}^{x} frac{sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{sqrt{1-t^{2} }},mathrm{d}t qquad (0 leq k leq 1) )]
완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.
[math(displaystyle E(k) := int_{0}^{1} frac{sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{sqrt{1-t^{2} }},mathrm{d}t qquad (0 leq k leq 1) )]
완전 제1종 타원 적분의 경우와 마찬가지로 완전 제2종 타원 적분도 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
[math(displaystyle E(k) =frac{pi}{2} left[1- sum_{n=1}^{infty }left [ frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} right ]^{2} frac{k^{2n}}{2n-1} right] )]
2.3. 초기하함수를 통한 정의
완전 타원 적분은 아래와 같이 초기하함수를 통해 정의할 수 있다.
[math( displaystyle begin{aligned} K(k) &= dfrac{pi}{2},{}_2F_1left(dfrac12,,dfrac12;1;k^2right) \ E(k)&=dfrac{pi}{2},{}_2F_1left(-dfrac12,,dfrac12;1;k^2right) end{aligned} )]
[math( displaystyle begin{aligned} K(k) &= dfrac{pi}{2},{}_2F_1left(dfrac12,,dfrac12;1;k^2right) \ E(k)&=dfrac{pi}{2},{}_2F_1left(-dfrac12,,dfrac12;1;k^2right) end{aligned} )]
2.4. 그래프
2.4.1. 불완전 타원 적분
아래는 [math(k^{2}=0.9)]일 때, [math(F(phi,,k))]와 [math(E(phi,,k))]의 그래프를 [math([0,,2pi])] 영역에서 나타낸 것이다.
파일:나무_불완전_타원_적분_그래프.png
파일:나무_불완전_타원_적분_그래프.png
2.4.2. 완전 타원 적분
아래는 [math(displaystyle K(k))]와 [math(displaystyle E(k))]의 그래프를 [math(displaystyle 0 leq k leq 1)]의 영역에서 나타낸 것이다.
파일:나무_타원적분_NEW.png
이때, 다음이 성립한다.
파일:나무_타원적분_NEW.png
이때, 다음이 성립한다.
2.4.3. 완전 타원 적분의 극한값
- [math(displaystyle lim_{k to 0} E(k)=lim_{k to 0} K(k) =frac{pi}{2})]
- [math(displaystyle lim_{k to 1} E(k)=1)]
- [math(displaystyle lim_{k to 1} K(k)= infty)]
- [math(displaystyle lim_{k to 1} E(k)=1)]
- [math(displaystyle lim_{k to -infty} E(k) =infty)]
- [math(displaystyle lim_{k to -infty} K(k)=0)]
2.5. 관련 공식
[1]
[math(displaystyle begin{aligned} F(-phi,,k)&=-F(phi,,k) \ E(-phi,,k)&=-E(phi,,k) end{aligned} )]
이 결과는 정의식을 이용하여 도출할 수 있으며, 이는 타원 적분이 곧 홀함수(Odd function; 기함수)임을 얻는다.
[2]
[math(displaystyle begin{aligned} F(n pi pm phi,,k)&=2nK(k) pm F(phi,,k) \ E(n pi pm phi,,k)&=2nE(k) pm E(phi,,k) end{aligned} )]
(단, 여기서 [math(n in mathbb{N})]이고, 복부호동순이다.)
[3]
[math(displaystyle begin{aligned} int_{phi_{1}}^{phi_{2}} frac{1}{sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta} }},mathrm{d} theta&=F(phi_{2},,k)-F(phi_{1},,k) \ int_{phi_{1}}^{phi_{2}} sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta}},mathrm{d} theta&=E(phi_{2},,k)-E(phi_{1},,k) end{aligned} )]
[4] 르장드르 항등식
[math(displaystyle K(k)E(1-k^{2})+K(1-k^{2})E(k)-K(k)K(1-k^{2})=frac{pi}{2} )]
[math(displaystyle begin{aligned} F(-phi,,k)&=-F(phi,,k) \ E(-phi,,k)&=-E(phi,,k) end{aligned} )]
이 결과는 정의식을 이용하여 도출할 수 있으며, 이는 타원 적분이 곧 홀함수(Odd function; 기함수)임을 얻는다.
[2]
[math(displaystyle begin{aligned} F(n pi pm phi,,k)&=2nK(k) pm F(phi,,k) \ E(n pi pm phi,,k)&=2nE(k) pm E(phi,,k) end{aligned} )]
(단, 여기서 [math(n in mathbb{N})]이고, 복부호동순이다.)
[3]
[math(displaystyle begin{aligned} int_{phi_{1}}^{phi_{2}} frac{1}{sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta} }},mathrm{d} theta&=F(phi_{2},,k)-F(phi_{1},,k) \ int_{phi_{1}}^{phi_{2}} sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta}},mathrm{d} theta&=E(phi_{2},,k)-E(phi_{1},,k) end{aligned} )]
[4] 르장드르 항등식
[math(displaystyle K(k)E(1-k^{2})+K(1-k^{2})E(k)-K(k)K(1-k^{2})=frac{pi}{2} )]
3. 야코비 타원 함수
4. 기타
- 타원 적분은 공식적으로 확정된 표기법이 없어 책이나 교재, 수치 계산 프로그램에 따라 다르다. 그렇기 때문에 타원 적분을 사용할 때는 사용하는 매체의 표기가 어떤지를 주의 깊게 살펴본 후 써야 한다.
- 수치 계산 프로그램인 매스매티카는 매개변수 [math(k^{2} := m)]을 사용한다. 이는 해당 프로그램을 기반으로 만들어진 검색엔진인 Wolfram Alpha도 마찬가지이다.
- 사인 곡선의 길이를 구할 때도 등장하게 되며, [math(1/4)]주기의 사인 곡선 [math(y(x)=asin{bx})]의 길이는
[math( displaystyle frac{sqrt{a^2 b^2 + 1}}{b} , E biggl( sqrt{1 - frac{1}{a^2 b^2 + 1}} biggr) )]
이다. 코사인 곡선 또한 사인 곡선의 평행 이동이므로 [math(1/4)]주기의 코사인 곡선의 길이 또한 같다.