Cauchy–Schwarz inequality

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시(Cauchy, Augustin-Louis)가 만들고 이후 독일의 수학자 헤르만 슈바르츠(Schwartz, Hermann)[1]가 수정한 절대부등식이다.[2] 고등학교 과정에서는 보통

[math(left(a^2 + b^2 right)left(c^2 + d^2 right) ge left(ac + bdright) ^2)] (단, 등호는 [math(displaystyle frac{a}{c}=frac{b}{d})]일 때 성립)
일 때를 다루고, 일반적으로는 변수가 여러 개일 때

[math(left({a_1}^2 + cdots +{a_n}^2 right)left({b_1}^2 + cdots +{b_n}^2 right) ge left({a_1}{b_1} + cdots +{a_n}{b_n} right)^2 )]
의 형태 또는 적분형태

[math(displaystyle int_{a}^{b}fleft(xright)^2 dx int_{a}^{b}gleft(xright)^2 dx ge left(int_{a}^{b}fleft(xright)gleft(xright) dxright)^2)]
로, 확률론에서는

[math(Eleft(X^2right)Eleft(Y^2right) ge Eleft(XYright)^2)]
로 등장한다.

고등학교 과정에서 이걸 잠깐 보면 후술할 2.3.의 과정과 같이 양변을 빼서 완전제곱식의 합으로 만든 다음 '에이 쉽네'하고 넘어가겠지만, 사실 이 부등식은 수학에선 매우 중요한 부등식이다. 코시-슈바르츠 부등식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.

[math(leftVert vrightVert ^{2}leftVert wrightVert ^{2}geleftvert vcdot wrightvert^{2})]

여기서 [math(leftVertrightVert)]는 벡터의 유클리드 노름, [math(cdot)]는 벡터의 내적이다. 물론 이 벡터는 3차원 벡터 뿐만이 아니라 선형대수학의 일반적인 내적공간의 벡터이다.

이 코시-슈바르츠 부등식이 적용되는 확률론의 분산/공분산, 해석학의 [math(L^{2})] 공간 등의 다양한 상황이 거의 내적으로 설명된다는 것을 확인한다면, 선형대수학의 범용성과 이 절대부등식의 심오함을 다시 한번 깨닫게 될 것이다.

이걸로 하이젠베르크의 불확정성 원리까지 증명할 수 있다.

실수 [math(t)]에 대한 이차식 [math(leftVert v+twrightVert^{2}=0)] 의 판별식이 0 이하라는 것이 이 부등식과 동치가 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 당연히 이 증명에도 벡터의 기하학적 직관이 들어가 있다.

[math( 0 le leftVert v+twrightVert^{2}= (v+tw) cdot (v+tw)=leftVert w rightVert ^{2}t^{2} + 2 (v cdot w) t+leftVert vrightVert^{2})]에서
[math( D = (v cdot w)(v cdot w) - leftVert w rightVert^{2} leftVert v rightVert^{2} le 0)] [3]인 이유는 [math( 0 le leftVert v+twrightVert^{2})]이기 때문에 이차함수의 실근이 없거나 중근이어야 한다.]

[math( therefore leftVert vrightVert ^{2}leftVert wrightVert ^{2}geleftvert vcdot wrightvert^{2})]

등호 조건은 [math(|vec{v}| times |vec{w}| = vec{v} cdot vec{w})]일 때이므로 두 벡터 [math(vec{v})]와 [math(vec{w})]가 평행인 것이다.

위 증명을 벡터를 쓰지 않고 증명한다면, 다음과 같다.
이차함수 [math(f(x))]를 다음과 같이 정의하면,

[math(f(x) = (a_1 x-b_1 )^2 +(a_2 x-b_2 )^2 + cdots + (a_n x-b_n )^2)]

[math(f(x))]는 완전제곱식의 합이므로 임의의 실수 [math(x)]에 대하여, 판별식값이 [math(0)] 이하이다. 위 [math(f(x))]를 전개하면,

[math(f(x)=(a_1^2 +a_2^2 + cdots + a_n^2 )x^2 - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2 + cdots + a_n b_n )x + (b_1^2 +b_2^2 + cdots + b_n^2 ))]

이므로 판별식을 세워보면
D/4 = [math(left({a_1}{b_1} + cdots +{a_n}{b_n} right)^2-left({a_1}^2 + cdots +{a_n}^2 right)left({b_1}^2 + cdots +{b_n}^2 right) )] ≤ 0
이 되어 코시-슈바르츠 부등식을 증명할 수 있다.
등호성립조건은 판별식값이 [math(0)]일 때, 즉 [math(f(x)=0)]가 근이 존재할 때인데, 그 필요충분조건은 [math(a_1 x-b_1 = a_2 x-b_2 = cdots = a_n x-b_n = 0)]인 실수 [math(x)]가 존재할 때이다. 따라서 등호성립조건의 필요충분조건은

[math(dfrac{a_1}{b_1} = dfrac{a_2}{b_2} = cdots = dfrac{a_n}{b_n})]

일 때이다.

이 방법은 코시 슈바르츠 부등식의 확장을 위한 유용한 증명 방법이다.

[math(A = a_1^2 +a_2^2 + cdots + a_n^2)], [math(B = b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2)]라 하면,

[math(2 = 1+1 = dfrac{a_1^2 +a_2^2 + cdots + a_n^2}{A} + dfrac{b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2}{B})]

[math(= left( dfrac{a_1^2}{A} + dfrac{b_1^2}{B} right) + left( dfrac{a_2^2}{A} + dfrac{b_2^2}{B} right) + cdots + left( dfrac{a_n^2}{A} + dfrac{b_n^2}{B} right) geq dfrac{2a_1 b_1}{sqrt{AB}} + dfrac{2a_2 b_2}{sqrt{AB}} + cdots + dfrac{2a_n b_n}{sqrt{AB}})]

위 식에서 양변에 [math(frac{sqrt{AB}}{2})]를 곱하고 제곱해주면 증명이 된다.
단 위의 증명은 [math( AB≠0)]일 때이고, [math(AB=0)]이면 어차피 임의의 양의 정수 n에 대해 [math(a_nb_n)]값도 0이므로 부등식이 성립한다.

[math(left( a_1^2 + a_2^2 + cdots + a_n^2 right) left( b_1^2 +b_2^2 + cdots + b_n^2 right) - left(a_1 b_1 + a_2 b_2 + cdots + a_n b_n right)^2 = displaystyle{sum_{1 le i<j le n} {(a_i b_j - a_j b_i)^2}} ge 0)]

코시-슈바르츠 부등식은 다양한 방법으로 확장이 가능하다. 그 중 대표적인 예가 헬더 부등식이고, 헬더 부등식의 여러 형태 중 (소위 [math(n)]차 코시라고 일컬어지는) 하나는 다음과 같다.

[math(i=1)], [math(2)], [math(cdots)], [math(n)]이고, [math(j=1)], [math(2)], [math(cdots)], [math(m)]일 때, [math(n)]이 짝수이면 [math(a_{(i,j)})]가 실수, [math(n)]이 홀수이면 [math(a_{(i,j)})]가 음이 아닌 실수라고 하자. 그러면, 다음 부등식이 성립한다.

[math(left(a_{(1,1)}^n + a_{(1,2)}^n + cdots + a_{(1,m)}^n right) left(a_{(2,1)}^n + a_{(2,2)}^n + cdots + a_{(2,m)}^n right) cdots left(a_{(n,1)}^n + a_{(n,2)}^n + cdots + a_{(n,m)}^n right))]

[math(geq left( a_{(1,1)} a_{(2,1)} cdots a_{(n,1)} + a_{(1,2)} a_{(2,2)} cdots a_{(n,2)} + cdots a_{(1,m)} a_{(2,m)} cdots a_{(n,m)} right)^n)]

증명은 위 2.2와 마찬가지로 하면 된다. 즉,

[math(A_i =a_{(i,1)}^n + a_{(i,2)}^n + cdots + a_{(i,m)}^n )]라 하면,

[math(n=1+1+ cdots +1)] ([math(n)]개의 [math(1)]) [math(= displaystyle{sum_{i=1}^{n}{sum_{j=1}^{m}{frac{a_{(i,j)}^n}{A_i}}} = sum_{j=1}^{m}{sum_{i=1}^{n}{frac{a_{(i,j)}^n}{A_i}}} geq sum_{j=1}^{m}{frac{na_{(1,j)} a_{(2,j)} cdots a_{(n,j)} }{sqrt[n]{A_1 A_2 cdots A_n}}}})]

이고, 이 부등식에서 양변에 [math(dfrac{sqrt[n]{A_1 A_2 cdots A_n}}{n})]을 곱한 후 [math(n)]제곱 하면 증명이 된다.

Proof.
일단 알아두어야 할 것이 있다.

[math((a^2+b^2+c^2)^2 = (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2) ge (ab+bc+ca)^2)]
[math(therefore a^2+b^2+c^2 ge ab+bc+ca)]
[math(therefore (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) ge 3(ab+bc+ca))]

이 성질은 여러 부등식을 증명할 때 많이 사용하므로 알아두면 좋다. 한국수학올림피아드에서도 이 공식이 많이 도움이 된다.

자세한 것은 T2의 도움정리 참고.