[목차] == 개요 == {{{+1 Cauchy–Schwarz inequality}}} [[프랑스]]의 수학자 [[오귀스탱 루이 코시]](Cauchy, Augustin-Louis)가 만들고 이후 [[독일]]의 수학자 헤르만 슈바르츠(Schwartz, Hermann)[* 1843~1921. 헤르만 슈바르츠가 사사한 스승이 [[카를 바이어슈트라스]]다.]가 수정한 [[절대부등식]]이다.[* CBS 부등식이라고도 하는데, C는 코시, S는 슈바르츠, B는 러시아 수학자인 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키(Viktor Bunyakovsky)를 뜻한다. 아래의 적분형 버전은 부냐코프스키가 증명한 것.] 고등학교 과정에서는 보통 [math(\left(a^2 + b^2 \right)\left(c^2 + d^2 \right) \ge \left(ac + bd\right) ^2)] (단, 등호는 [math(\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{d})]일 때 성립) 일 때를 다루고, 일반적으로는 변수가 여러 개일 때 [math(\left({a_1}^2 + \cdots +{a_n}^2 \right)\left({b_1}^2 + \cdots +{b_n}^2 \right) \ge \left({a_1}{b_1} + \cdots +{a_n}{b_n} \right)^2 )] 의 형태 또는 적분형태 [math(\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)^2 dx \int_{a}^{b}g\left(x\right)^2 dx \ge \left(\int_{a}^{b}f\left(x\right)g\left(x\right) dx\right)^2)] 로, 확률론에서는 [math(E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right) \ge E\left(XY\right)^2)] 로 등장한다. 고등학교 과정에서 이걸 잠깐 보면 후술할 2.3.의 과정과 같이 양변을 빼서 완전제곱식의 합으로 만든 다음 '에이 쉽네'하고 넘어가겠지만, 사실 이 부등식은 수학에선 매우 중요한 부등식이다. 코시-슈바르츠 부등식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다. [math(\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}\ge\left\vert v\cdot w\right\vert^{2})] 여기서 [math(\left\Vert\right\Vert)]는 벡터의 유클리드 [[노름(수학)|노름]], [math(\cdot)]는 벡터의 내적이다. 물론 이 벡터는 3차원 벡터 뿐만이 아니라 [[선형대수학]]의 일반적인 내적공간의 [[벡터]]이다. 이 코시-슈바르츠 부등식이 적용되는 [[확률론]]의 [[분산]]/[[공분산]], [[해석학(수학)|해석학]]의 [math(L^{2})] 공간 등의 다양한 상황이 거의 내적으로 설명된다는 것을 확인한다면, [[선형대수학]]의 범용성과 이 절대부등식의 심오함을 다시 한번 깨닫게 될 것이다. 이걸로 [[하이젠베르크]]의 [[불확정성 원리]]까지 증명할 수 있다. == 증명 == === 판별식을 이용한 증명 === 실수 [math(t)]에 대한 이차식 [math(\left\Vert v+tw\right\Vert^{2}=0)] 의 판별식이 0 이하라는 것이 이 부등식과 동치가 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 당연히 이 증명에도 [[벡터]]의 기하학적 직관이 들어가 있다. [math( 0 \le \left\Vert v+tw\right\Vert^{2}= (v+tw) \cdot (v+tw)=\left\Vert w \right\Vert ^{2}t^{2} + 2 (v \cdot w) t+\left\Vert v\right\Vert^{2})]에서 [math( D = (v \cdot w)(v \cdot w) - \left\Vert w \right\Vert^{2} \left\Vert v \right\Vert^{2} \le 0)] [* [math(D\le0)]인 이유는 [math( 0 \le \left\Vert v+tw\right\Vert^{2})]이기 때문에 이차함수의 실근이 없거나 중근이어야 한다.] [math( \therefore \left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}\ge\left\vert v\cdot w\right\vert^{2})][br][br]등호 조건은 [math(|\vec{v}| \times |\vec{w}| = \vec{v} \cdot \vec{w})]일 때이므로 두 벡터 [math(\vec{v})]와 [math(\vec{w})]가 평행인 것이다.[br][br]위 증명을 벡터를 쓰지 않고 증명한다면, 다음과 같다.[br]이차함수 [math(f(x))]를 다음과 같이 정의하면,[br][br][math(f(x) = (a_1 x-b_1 )^2 +(a_2 x-b_2 )^2 + \cdots + (a_n x-b_n )^2)][br][br][math(f(x))]는 완전제곱식의 합이므로 임의의 실수 [math(x)]에 대하여, 판별식값이 [math(0)] 이하이다. 위 [math(f(x))]를 전개하면,[br][br][math(f(x)=(a_1^2 +a_2^2 + \cdots + a_n^2 )x^2 - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n )x + (b_1^2 +b_2^2 + \cdots + b_n^2 ))][br][br]이므로 판별식을 세워보면[br]{{{+1 D/4 = [math(\left({a_1}{b_1} + \cdots +{a_n}{b_n} \right)^2-\left({a_1}^2 + \cdots +{a_n}^2 \right)\left({b_1}^2 + \cdots +{b_n}^2 \right) )] ≤ 0}}}[br]이 되어 코시-슈바르츠 부등식을 증명할 수 있다.[br]등호성립조건은 판별식값이 [math(0)]일 때, 즉 [math(f(x)=0)]가 근이 존재할 때인데, 그 필요충분조건은 [math(a_1 x-b_1 = a_2 x-b_2 = \cdots = a_n x-b_n = 0)]인 실수 [math(x)]가 존재할 때이다. 따라서 등호성립조건의 필요충분조건은[br][br][math(\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n})][br][br]일 때이다. === [[산술·기하 평균 부등식]]을 이용한 증명 === 이 방법은 코시 슈바르츠 부등식의 확장을 위한 유용한 증명 방법이다.[br][br][math(A = a_1^2 +a_2^2 + \cdots + a_n^2)], [math(B = b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)]라 하면,[br][br][math(2 = 1+1 = \dfrac{a_1^2 +a_2^2 + \cdots + a_n^2}{A} + \dfrac{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2}{B})][br][br][math(= \left( \dfrac{a_1^2}{A} + \dfrac{b_1^2}{B} \right) + \left( \dfrac{a_2^2}{A} + \dfrac{b_2^2}{B} \right) + \cdots + \left( \dfrac{a_n^2}{A} + \dfrac{b_n^2}{B} \right) \geq \dfrac{2a_1 b_1}{\sqrt{AB}} + \dfrac{2a_2 b_2}{\sqrt{AB}} + \cdots + \dfrac{2a_n b_n}{\sqrt{AB}})][br][br]위 식에서 양변에 [math(\frac{\sqrt{AB}}{2})]를 곱하고 제곱해주면 증명이 된다. 단 위의 증명은 [math( AB≠0)]일 때이고, [math(AB=0)]이면 어차피 임의의 양의 정수 n에 대해 [math(a_nb_n)]값도 0이므로 부등식이 성립한다. === 소거하여 증명 === [math(\left( a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 \right) \left( b_1^2 +b_2^2 + \cdots + b_n^2 \right) - \left(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \right)^2 = \displaystyle{\sum_{1 \le i<j \le n} {(a_i b_j - a_j b_i)^2}} \ge 0)] == 확장 == 코시-슈바르츠 부등식은 다양한 방법으로 확장이 가능하다. 그 중 대표적인 예가 헬더 부등식이고, 헬더 부등식의 여러 형태 중 (소위 [math(n)]차 코시라고 일컬어지는) 하나는 다음과 같다. [math(i=1)], [math(2)], [math(\cdots)], [math(n)]이고, [math(j=1)], [math(2)], [math(\cdots)], [math(m)]일 때, [math(n)]이 짝수이면 [math(a_{(i,j)})]가 실수, [math(n)]이 홀수이면 [math(a_{(i,j)})]가 음이 아닌 실수라고 하자. 그러면, 다음 부등식이 성립한다. [math(\left(a_{(1,1)}^n + a_{(1,2)}^n + \cdots + a_{(1,m)}^n \right) \left(a_{(2,1)}^n + a_{(2,2)}^n + \cdots + a_{(2,m)}^n \right) \cdots \left(a_{(n,1)}^n + a_{(n,2)}^n + \cdots + a_{(n,m)}^n \right))] [math(\geq \left( a_{(1,1)} a_{(2,1)} \cdots a_{(n,1)} + a_{(1,2)} a_{(2,2)} \cdots a_{(n,2)} + \cdots a_{(1,m)} a_{(2,m)} \cdots a_{(n,m)} \right)^n)] 증명은 [[#s-2.2|위 2.2]]와 마찬가지로 하면 된다. 즉, [math(A_i =a_{(i,1)}^n + a_{(i,2)}^n + \cdots + a_{(i,m)}^n )]라 하면, [math(n=1+1+ \cdots +1)] ([math(n)]개의 [math(1)]) [math(= \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}{\frac{a_{(i,j)}^n}{A_i}}} = \sum_{j=1}^{m}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{a_{(i,j)}^n}{A_i}}} \geq \sum_{j=1}^{m}{\frac{na_{(1,j)} a_{(2,j)} \cdots a_{(n,j)} }{\sqrt[n]{A_1 A_2 \cdots A_n}}}})] 이고, 이 부등식에서 양변에 [math(\dfrac{\sqrt[n]{A_1 A_2 \cdots A_n}}{n})]을 곱한 후 [math(n)]제곱 하면 증명이 된다. == 따름 정리 == === 네스빗 (Nesbit) 부등식 === >임의의 양의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.[br][br][math(\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2})] Proof. 일단 알아두어야 할 것이 있다. [math((a^2+b^2+c^2)^2 = (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2) \ge (ab+bc+ca)^2)] [math(\therefore a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca)] [math(\therefore (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \ge 3(ab+bc+ca))] 이 성질은 여러 부등식을 증명할 때 많이 사용하므로 알아두면 좋다. [[한국수학올림피아드]]에서도 이 공식이 많이 도움이 된다. === Titu's Lemma(코시엥겔폼) === >임의의 [math(n)]개의 실수 [math(a_1)], [math(a_2)], [math(\cdots)], [math(a_n)]과 [math(n)]개의 양의 실수 [math(b_1)], [math(b_2)], [math(\cdots)], [math(b_n)]에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.[br][br][math(\dfrac{a_1^2}{b_1} + \dfrac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1 +a_2 + \cdots + a_n )^2}{b_1 +b_2 + \cdots + b_n})] 자세한 것은 [[T2의 도움정리]] 참고. === 권방화 (权方和) 부등식 === >임의의 [math(2n)]개의 양의 실수 [math(x_1)], [math(x_2)], [math(\cdots)], [math(x_n)], [math(y_1)], [math(y_2)], [math(\cdots)], [math(y_n)]과 주어진 실수 [math(m)]에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.[br][br][math(\dfrac{x_1^{m+1}}{y_1^m} + \dfrac{x_2^{m+1}}{y_2^m} + \cdots + \dfrac{x_n^{m+1}}{y_n^m} \ge \dfrac{(x_1 +x_2 + \cdots + x_n )^{m+1}}{(y_1 +y_2 + \cdots + y_n )^m})] ([math(m>0)] 또는 [math(m<-1)]일 때)[br][br][math(\dfrac{x_1^{m+1}}{y_1^m} + \dfrac{x_2^{m+1}}{y_2^m} + \cdots + \dfrac{x_n^{m+1}}{y_n^m} \le \dfrac{(x_1 +x_2 + \cdots + x_n )^{m+1}}{(y_1 +y_2 + \cdots + y_n )^m})] ([math(-1<m<0)]일 때) == 관련 문서 == * [[불확정성 원리]] [[분류:절대부등식]]