1. 개요
2. 정의
다음을 [math(boldsymbol X)]의 조건부기댓값이라고 한다. 정확히는 [math(boldsymbol Y)]가 [math(boldsymbol y)]로 주어질 때(알려져 있을 때)의 [math(boldsymbol X)]의 조건부기댓값이라고 한다.
같은 방법으로 [math(X)]가 [math(x)]로 주어질 때의 [math(Y)]의 조건부기댓값도 정의할 수 있다. 주의할 점은 [math(E(X|Y=y))]는 [math(boldsymbol y)]에 관한 함수라는 사실이다.
[math(E(X|Y=y)=begin{cases}begin{aligned}&displaystylesum_xxh(x|y)quad&Xtextsf{가 이산}\&displaystyleint_{-infty}^{infty}xh(x|y);{rm d}x&Xtextsf{가 연속}end{aligned}end{cases})]
같은 방법으로 [math(X)]가 [math(x)]로 주어질 때의 [math(Y)]의 조건부기댓값도 정의할 수 있다. 주의할 점은 [math(E(X|Y=y))]는 [math(boldsymbol y)]에 관한 함수라는 사실이다.
3. 성질
[math(m(X,;Y))]를 [math(X)]와 [math(Y)]의 함수라고 하면 다음이 성립한다.
나아가, 다음이 성립한다.
다시 말해 한 확률 변수의 조건부기댓값의 기댓값은 그 확률 변수의 기댓값과 같다. 이를 반복기댓값의 법칙(law of iterated expectation)이라고 한다.
이 증명은 [math(X)]와 [math(Y)]가 연속확률변수일 경우이고, 이산확률변수일 경우에는 [math(displaystyleint_{-infty}^{infty})]를 [math(displaystylesum_{-infty}^{infty})]로 바꾸기만 하면 된다.
[math(begin{aligned}E{m(X,;Y)}&=E{E(m(X,;Y)|X)}\&=E{E(m(X,;Y)|Y)}end{aligned})]
나아가, 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned}m(X,;Y)=X&quadrightarrowquad E(X)=E{E(X|Y)}\m(X,;Y)=Y&quadrightarrowquad E(Y)=E{E(Y|X)}end{aligned})]
다시 말해 한 확률 변수의 조건부기댓값의 기댓값은 그 확률 변수의 기댓값과 같다. 이를 반복기댓값의 법칙(law of iterated expectation)이라고 한다.
[증명]
| [math(begin{aligned}E{E(m(X,;Y)|X)}&=displaystyleint_{-infty}^{infty}E{E(m(X,;Y)|X)}f_X(x);{rm d}x\&=displaystyleint_{-infty}^{infty}biggr[displaystyleint_{-infty}^{infty}m(x,;y)cdot g(y|x);{rm d}ybiggr]f_X(x);{rm d}x\&=displaystyleint_{-infty}^{infty}biggr[displaystyleint_{-infty}^{infty}m(x,;y)dfrac{f(x,;y)}{f_X(x)};{rm d}ybiggr]f_X(x);{rm d}x\&=displaystyleint_{-infty}^{infty}displaystyleint_{-infty}^{infty}m(x,;y)f(x,;y);{rm d}y{rm d}x\&=E{m(X,;Y)}end{aligned})] |