[[분류:확률론]][[분류:수학 용어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:통계학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[條]][[件]][[附]][[平]][[均]] / conditional expectation}}} 조건부확률분포를 이용하여 조건부기댓값을 정의할 수 있다. '''조건부평균'''이라고도 한다. == 정의 == 다음을 [math(\boldsymbol X)]'''의 조건부기댓값'''이라고 한다. 정확히는 '''[math(\boldsymbol Y)]가 [math(\boldsymbol y)]로 주어질 때(알려져 있을 때)의 [math(\boldsymbol X)]의 조건부기댓값'''이라고 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(E(X|Y=y)=\begin{cases}\begin{aligned}&\displaystyle\sum_xxh(x|y)\quad&X\textsf{가 이산}\\&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xh(x|y)\;{\rm d}x&X\textsf{가 연속}\end{aligned}\end{cases})]}}} 같은 방법으로 [math(X)]가 [math(x)]로 주어질 때의 [math(Y)]의 조건부기댓값도 정의할 수 있다. 주의할 점은 [math(E(X|Y=y))]는 [math(\boldsymbol y)]'''에 관한 함수'''라는 사실이다. == 성질 == [math(m(X,\;Y))]를 [math(X)]와 [math(Y)]의 함수라고 하면 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}E\{m(X,\;Y)\}&=E\{E(m(X,\;Y)|X)\}\\&=E\{E(m(X,\;Y)|Y)\}\end{aligned})]}}} 나아가, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}m(X,\;Y)=X&\quad\rightarrow\quad E(X)=E\{E(X|Y)\}\\m(X,\;Y)=Y&\quad\rightarrow\quad E(Y)=E\{E(Y|X)\}\end{aligned})]}}} 다시 말해 한 확률 변수의 조건부기댓값의 기댓값은 그 확률 변수의 기댓값과 같다. 이를 '''반복기댓값의 법칙'''(law of iterated expectation)이라고 한다. {{{#!folding [증명] ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\begin{aligned}E\{E(m(X,\;Y)|X)\}&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}E\{E(m(X,\;Y)|X)\}f_X(x)\;{\rm d}x\\&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\biggr[\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}m(x,\;y)\cdot g(y|x)\;{\rm d}y\biggr]f_X(x)\;{\rm d}x\\&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\biggr[\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}m(x,\;y)\dfrac{f(x,\;y)}{f_X(x)}\;{\rm d}y\biggr]f_X(x)\;{\rm d}x\\&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}m(x,\;y)f(x,\;y)\;{\rm d}y{\rm d}x\\&=E\{m(X,\;Y)\}\end{aligned})] || 이 증명은 [math(X)]와 [math(Y)]가 연속확률변수일 경우이고, 이산확률변수일 경우에는 [math(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty})]를 [math(\displaystyle\sum_{-\infty}^{\infty})]로 바꾸기만 하면 된다.}}}