분류
1. 개요
수의 제곱근처럼, 행렬도 제곱근을 정의할 수 있다. 그런데 행렬의 특성상 제곱근이 되는 행렬이 엄청나게 많다[1]라면 [math(A)]와 상사인 임의의 행렬 [math(C)]에 대해 [math(C^{2} = B)]이다. 물론 [math({begin{bmatrix} 0 quad 1 \ 0 quad 0 end{bmatrix}})] 같이 제곱근행렬이 존재하지 않는 행렬도 있다.]. 2×2 단위행렬만 해도 아래와 같이 제곱근행렬이 10가지 경우로 매우 많다. 다만 원래 행렬이 양의 준정부호 행렬이라면 제곱근 중 양의 준정부호 행렬은 유일하다는 것이 알려져 있으므로 이를 principal square root라 해서 이를 기준으로 삼을 수 있다.
<math>displaystyle sqrt{begin{bmatrix} 1 quad 0 \ 0 quad 1 end{bmatrix}} = {1 over h} {begin{bmatrix} b quad a \ a quad -b end{bmatrix}}, {1 over h} {begin{bmatrix} -b quad -a \ -a quad b end{bmatrix}}, {1 over h} {begin{bmatrix} -b quad a \ a quad b end{bmatrix}}, {1 over h} {begin{bmatrix} b quad -a \ -a quad -b end{bmatrix}}, begin{bmatrix} 1 quad 0 \ 0 quad 1 end{bmatrix}, begin{bmatrix} 1 quad 0 \ 0 quad -1 end{bmatrix}, begin{bmatrix} -1 quad 0 \ 0 quad 1 end{bmatrix}, begin{bmatrix} -1 quad 0 \ 0 quad -1 end{bmatrix}, begin{bmatrix} 0 quad 1 \ 1 quad 0 end{bmatrix}, begin{bmatrix} 0 quad -1 \ -1 quad 0 end{bmatrix} </math>
|
여기서 [math(a, b, h)] 는 [math(a^{2} + b^{2} = h^{2})]를 만족하는 자연수이다.
단위행렬은 양의 준정부호 행렬이며 그 principal square root는 단위행렬이다.
2. 여담
Aluthge transform이라는 개념에서도 행렬의 유리수승을 정의한다고 한다.
[1] [math(A^{2} = B)