1. 개요
Electric dipole moment
1.1. 일반적 정의
일반적으로 전기 쌍극자(Electric Dipole)는 전하량은 같고, 전하 부호는 다른 두 전하가 일정 거리 떨어져 있는 것을 나타낸다.
이때, 양전하 [math(+q )] 음전하 [math(-q )]가 [math(d)]만큼 떨어져있을 때, 전기 쌍극자 모멘트(Electric Dipole Moment)는 다음과 같이 정의된다.
[math( displaystyle mathbf{p} equiv qmathbf{d} )]
이때, [math(mathbf{d} )]는 크기 [math(d ll 1 )]이고, 방향은 음전하로 부터 양전하를 가리키는 방향으로 정의되는 벡터이다.
파일:electric_dipole_moment_1_확정.png
이 전기 쌍극자 모멘트는 계의 극성을 나타내는 척도가 된다.
이때, 양전하 [math(+q )] 음전하 [math(-q )]가 [math(d)]만큼 떨어져있을 때, 전기 쌍극자 모멘트(Electric Dipole Moment)는 다음과 같이 정의된다.
[math( displaystyle mathbf{p} equiv qmathbf{d} )]
이때, [math(mathbf{d} )]는 크기 [math(d ll 1 )]이고, 방향은 음전하로 부터 양전하를 가리키는 방향으로 정의되는 벡터이다.
파일:electric_dipole_moment_1_확정.png
이 전기 쌍극자 모멘트는 계의 극성을 나타내는 척도가 된다.
1.2. 확장
이것을 확장하게 되면, [math(N)]개의 전하가 있는 경우엔 전기 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 정의된다.
[math( displaystyle mathbf{p} = sum_{i=1} ^{N} q_{i}mathbf{r'}_{i} )]
이때, [math(mathbf{r}_{i} )]는 전하 [math({q}_{i} )]까지의 위치벡터이다.
전하가 연속적으로 분포된 계는 합을 적분으로 쓸 수 있어,
[math( displaystyle mathbf{p} = int mathbf{r'},dq )]
로 쓸 수 있고, 전하밀도(Charge density) [math( rho )]를 도입하면,
[math( displaystyle mathbf{p} = iiint mathbf{r'}rho(mathbf{r'}),dV' )]
로 쓸 수 있다.
이때, 계의 총 전하(Net charge)가 [math(0 )]인 경우엔 쌍극자 모멘트는 원점에 의존하지 않으나, 총 전하가 [math(0 )]이 아닌 경우는 원점에 의존하게 되므로 원점을 어디를 택하느냐에 따라 쌍극자 모멘트가 달라진다. 그런경우, 일반적으로 원점은 계의 질량중심으로 잡는 게 일반적이다. 이것에 대한 증명은 세 번째 문단에 있다.
[math( displaystyle mathbf{p} = sum_{i=1} ^{N} q_{i}mathbf{r'}_{i} )]
이때, [math(mathbf{r}_{i} )]는 전하 [math({q}_{i} )]까지의 위치벡터이다.
전하가 연속적으로 분포된 계는 합을 적분으로 쓸 수 있어,
[math( displaystyle mathbf{p} = int mathbf{r'},dq )]
로 쓸 수 있고, 전하밀도(Charge density) [math( rho )]를 도입하면,
[math( displaystyle mathbf{p} = iiint mathbf{r'}rho(mathbf{r'}),dV' )]
로 쓸 수 있다.
이때, 계의 총 전하(Net charge)가 [math(0 )]인 경우엔 쌍극자 모멘트는 원점에 의존하지 않으나, 총 전하가 [math(0 )]이 아닌 경우는 원점에 의존하게 되므로 원점을 어디를 택하느냐에 따라 쌍극자 모멘트가 달라진다. 그런경우, 일반적으로 원점은 계의 질량중심으로 잡는 게 일반적이다. 이것에 대한 증명은 세 번째 문단에 있다.
1.2.1. 예제 : 표면에 대전된 구
[문제]
축이 [math(z)]축인 반지름이 [math(R)]인 구 표면에 표면 전하 밀도 [math(sigma=sigma_{0}cos{theta})]로 대전되어있을 때, 이 구의 전기 쌍극자 모멘트를 구하시오.
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[풀이 보기]
확장된 전기 쌍극자 모멘트
[math( displaystyle mathbf{p} = int mathbf{r'},dq )]
를 사용하자. 현재 전하가 분포하는 곳은 구의 표면이므로 [math(mathbf{r'}=Rhat{mathbf{r}})]이다. 이것을 직교 좌표계[1]로 쓰면,
[math( displaystyle mathbf{r'}=R(hat{mathbf{x}}sin{theta '}cos{phi '}+hat{mathbf{y}}sin{theta '}sin{phi '}+hat{mathbf{z}}cos{theta '}) )]
또한, 미소 전하 [math(dq= R^{2}sigma_{0}cos{theta'}, d Omega')]이므로
[math( displaystyle mathbf{p} = int mathbf{r'},dq=R^{3}sigma_{0}hat{mathbf{z}} oint_{Omega} cos^{2}{theta '}, d Omega' )]
참고로, [math(x,,y)]성분은 [math(phi)] 대칭성에 따라 온 공간의 입체각에 대해 적분할 때 상쇄됨에 따라 기입하지 않았다. 따라서
[math( displaystyle mathbf{p} =frac{4}{3}pi sigma_{0} R^{3} hat{mathbf{z}} )]
가 된다.
이 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 아래의 내용을 참고하면,
[math( displaystyle Phi(mathbf{r}) =frac{mathbf{p} cdot mathbf{r}}{4 pi varepsilon_{0}r^{3}} = frac{sigma_{0}}{3varepsilon_{0}} frac{R^{3}}{r^{2}}cos{theta} )]
임을 알 수 있다. 사실 전기 퍼텐셜 문서에서 같은 상황으로 구 내·외부의 전기 퍼텐셜 분포를 구해보았고, 외부의 상황과 같게 나왔음을 알 수 있다. 즉, 이 상황은 구 중심에 위에서 도출되었던 쌍극자가 있는 상황과 완전히 같다는 것을 알 수 있다.
1.3. 화학적 접근
하나의 공유 결합 내에서, 전자가 두 개의 원자 중 전기 음성도가 큰 원자 쪽으로 더 많이 끌리게 된다. 여기서 상대적으로 전기 음성도가 큰 원자는 [math((-))]전하를 띠게 되고, 전기 음성도가 작은 원자는 [math((+))]전하를 띄게 되는 것을 쌍극자라 한다. 이때 두 극의 세기와 두 원자핵 사이의 거리를 곱한 벡터량을 쌍극자 모멘트라 하고, 방향은 [math((-))]극에서 [math((+))]극으로 향하는 쪽이다. 따라서 산소, 질소와 같이 전기 음성도가 같은 두 원자로 이루어진 분자는 쌍극자 모멘트가 0인 무극성 분자이다.
분자가 전기장 내에 놓일 경우, 전자가 전기장에 의해 힘을 받아 이동하므로 무극성 분자도 유도된 쌍극자 모멘트를 가질 수 있다.
2원자 분자에 쌍극자 모멘트가 있다면 그 분자는 반드시 극성 분자이고, 3원자 이상의 분자는 쌍극자 모멘트가 있더라도 그 합이 0이면 무극성 분자이다.
특성상 고분자에 가까워질수록 쌍극자 모멘트는 옅어진다. 주위에서 흔하게 볼 수 있는 물질 중 쌍극자 모멘트가 특히 강한 것으로는 설탕이 있다.
분자가 전기장 내에 놓일 경우, 전자가 전기장에 의해 힘을 받아 이동하므로 무극성 분자도 유도된 쌍극자 모멘트를 가질 수 있다.
2원자 분자에 쌍극자 모멘트가 있다면 그 분자는 반드시 극성 분자이고, 3원자 이상의 분자는 쌍극자 모멘트가 있더라도 그 합이 0이면 무극성 분자이다.
특성상 고분자에 가까워질수록 쌍극자 모멘트는 옅어진다. 주위에서 흔하게 볼 수 있는 물질 중 쌍극자 모멘트가 특히 강한 것으로는 설탕이 있다.
2. 전기 쌍극자의 물리량
2.1. 전기 퍼텐셜 · 전기장
전기 쌍극자가 자유공간에 놓여있는 경우에서 쌍극자로부터 [math( r gg d )]만큼 떨어진 곳에서의 전기 퍼텐셜은
[math( displaystyle Phi(mathbf{r}) = frac{mathbf{p} cdot mathbf{r}}{4 pi varepsilon_{0}r^{3}} )]
[math( displaystyle Phi(mathbf{r}) = frac{mathbf{p} cdot mathbf{r}}{4 pi varepsilon_{0}r^{3}} )]
[ 증명 ]
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으로 나타내고, 전기장은 전기 퍼텐셜의 그레이디언트로 주어지므로
#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\Phi = \frac{3(\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )]으로 나타낸다. [math(varepsilon_{0})]는 자유공간의 유전율을 나타낸다.
[ 증명 ]
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전기 쌍극자가 형성하는 전기력선과 등전위선은 아래와 같다. 실선은 전기력선이며, 점선은 등전위선이다.
파일:나무_전기쌍극자_전기력선_등전위선_수정2.png
전하의 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장과 비슷한 것을 알 수 있고, 아래의 문단을 보면 사실 상 거의 동일한 것임을 알 수 있다.
찾은 전기장은 전하의 부호가 다른 두 전하의 간격가 극단적으로 줄어들었거나, 두 전하로 부터 극단적으로 먼 곳의 전기장[6]을 측정할 때 위의 장이 나오게 된다. 그러나 이것 역시도 근사이므로 두 전하의 간격을 무시할 수 없거나, 쌍극자로 다가갈 수록 전기장은 위 식을 따르지 않고, 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장으로 가게 된다. (이를 잘 나타낸 그림)
2.2. 힘과 돌림힘
2.2.1. 전기장 내에서 받는 힘
전기 쌍극자 모멘트가 전기장 [math( mathbf{E} )]안에 있을 때, 받는 힘은
[math( displaystyle mathbf{F} =(mathbf{p} cdot boldsymbol{nabla})mathbf{E} )]
로 주어진다.
[math( displaystyle mathbf{F} =(mathbf{p} cdot boldsymbol{nabla})mathbf{E} )]
로 주어진다.
[ 증명 ]
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정전기학에서 다루는 전기장 [math( mathbf{E})]의 발산[15]이므로 전하가 없는 영역에서는 전기장의 발산은 [math( 0)]이 된다.]과 회전[16]은 [math( 0)]이 되고, 전기 쌍극자 모멘트 [math( mathbf{p})]는 constant vector이므로 [math( mathbf{p})]가 전기장 내에서 받는 힘은 다음과 같이도 쓸 수 있다.
[math( displaystyle mathbf{F} =mathbf{p} cdot (boldsymbol{nabla}mathbf{E})=boldsymbol{nabla}(mathbf{p} cdot mathbf{E}) )]
2.2.2. 전기장 내에서 받는 돌림힘
균일한 전기장 [math( mathbf{E} )]안에 전기 쌍극자 모멘트 [math( mathbf{p} )]가 있을 때, [math( mathbf{p} )]에 작용하는 돌림힘은
[math( displaystyle boldsymbol{tau} =mathbf{p} times mathbf{E} )]
로 주어지고, 이때 쌍극자가 가지는 에너지는
[math( U=-mathbf{p} cdot mathbf{E} )]
이다.
그러나, 전기 쌍극자 모멘트가 균일하지 않은 전기장 [math( mathbf{E} )]안에 있을 때, 받는 힘은
[math( displaystyle boldsymbol{tau} =mathbf{p} times mathbf{E}+mathbf{r} times mathbf{F})]
로 주어진다.
여기서 [math(mathbf{r})]는 쌍극자의 위치 벡터와 [math(mathbf{F})]는 쌍극자가 전기장 영역 속에서 받는 힘이다. 이때, [math(mathbf{F})]는 위에서 보았듯, [math( displaystyle mathbf{F} =(mathbf{p} cdot boldsymbol{nabla})mathbf{E})] 로 주어지게 된다.
[math( displaystyle boldsymbol{tau} =mathbf{p} times mathbf{E} )]
로 주어지고, 이때 쌍극자가 가지는 에너지는
[math( U=-mathbf{p} cdot mathbf{E} )]
이다.
그러나, 전기 쌍극자 모멘트가 균일하지 않은 전기장 [math( mathbf{E} )]안에 있을 때, 받는 힘은
[math( displaystyle boldsymbol{tau} =mathbf{p} times mathbf{E}+mathbf{r} times mathbf{F})]
로 주어진다.
여기서 [math(mathbf{r})]는 쌍극자의 위치 벡터와 [math(mathbf{F})]는 쌍극자가 전기장 영역 속에서 받는 힘이다. 이때, [math(mathbf{F})]는 위에서 보았듯, [math( displaystyle mathbf{F} =(mathbf{p} cdot boldsymbol{nabla})mathbf{E})] 로 주어지게 된다.
3. 전기 퍼텐셜의 다중극 전개
이번엔 국소화된 전하분포를 멀리서 관찰할 때, 어떤 방법으로 계를 분석할 수 있는지 알아보자. 그림과 같이 전하 분포 [math(rho(mathbf{r'}))]을 가지는 계에 대해 고려해보자.
파일:다중극 전개_전기 쌍극자.png
이때, 전기 퍼텐셜(Electric potential)은 다음과 같이 주어진다.
[math( displaystyle Phi(mathbf{r})=iiint frac{1}{4pi varepsilon_{0} }frac{rho(mathbf{r'})}{left | mathbf{r}-mathbf{r'} right | },dV')]
이때,
[math( displaystyle left | mathbf{r}-mathbf{r'} right |^{-1} =(r^2+r'^{2}-2rr' cos{theta} )^{-1/2} )]
이고, [math(rgg r')]라면, 이것을 르장드르 다항식의 생성함수 꼴로 전개할 수 있다.
[math( displaystyle (r^{2}+r'^{2}-2rr' cos{theta})^{-1/2}=frac{1}{r}sum_{n=0}^{infty } left ( frac{r'}{r} right )^{n} P_{n}(cos{theta})= sum_{n=0}^{infty } frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(cos{theta}) )]
이상에서 전기 퍼텐셜은
[math( displaystyle Phi(mathbf{r})= frac{1}{4 pi varepsilon_{0} }iiint rho(mathbf{r'})left [ sum_{n=0}^{infty } frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(cos{theta}) right ],dV' )]
로 주어진다.
따라서 전기 퍼텐셜은 아래와 같이 전개할 수 있다.
[math( displaystyle Phi(mathbf{r}) approx frac{1}{4 pi varepsilon_{0} } left [frac{1}{r} iiint rho(mathbf{r'}),dV' +frac{1}{r^2} iiint r' cos{theta} rho(mathbf{r'}),dV' +frac{1}{r^3} iiint r'^{2} left ( frac{3}{2}cos^{2}{theta}-frac{1}{2} right ) rho(mathbf{r'}),dV'+cdots right ] )]
여기서 첫째 항부터 홀극항, 쌍극자항, 사극자항, [math(cdots)], [math(2^{n-1})]극자항이라 부른다.
위의 논의는 다음을 얻는다.
파일:다중극 전개_전기 쌍극자.png
이때, 전기 퍼텐셜(Electric potential)은 다음과 같이 주어진다.
[math( displaystyle Phi(mathbf{r})=iiint frac{1}{4pi varepsilon_{0} }frac{rho(mathbf{r'})}{left | mathbf{r}-mathbf{r'} right | },dV')]
이때,
[math( displaystyle left | mathbf{r}-mathbf{r'} right |^{-1} =(r^2+r'^{2}-2rr' cos{theta} )^{-1/2} )]
이고, [math(rgg r')]라면, 이것을 르장드르 다항식의 생성함수 꼴로 전개할 수 있다.
[math( displaystyle (r^{2}+r'^{2}-2rr' cos{theta})^{-1/2}=frac{1}{r}sum_{n=0}^{infty } left ( frac{r'}{r} right )^{n} P_{n}(cos{theta})= sum_{n=0}^{infty } frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(cos{theta}) )]
이상에서 전기 퍼텐셜은
[math( displaystyle Phi(mathbf{r})= frac{1}{4 pi varepsilon_{0} }iiint rho(mathbf{r'})left [ sum_{n=0}^{infty } frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(cos{theta}) right ],dV' )]
로 주어진다.
따라서 전기 퍼텐셜은 아래와 같이 전개할 수 있다.
[math( displaystyle Phi(mathbf{r}) approx frac{1}{4 pi varepsilon_{0} } left [frac{1}{r} iiint rho(mathbf{r'}),dV' +frac{1}{r^2} iiint r' cos{theta} rho(mathbf{r'}),dV' +frac{1}{r^3} iiint r'^{2} left ( frac{3}{2}cos^{2}{theta}-frac{1}{2} right ) rho(mathbf{r'}),dV'+cdots right ] )]
여기서 첫째 항부터 홀극항, 쌍극자항, 사극자항, [math(cdots)], [math(2^{n-1})]극자항이라 부른다.
위의 논의는 다음을 얻는다.
국소화된 전하분포를 멀리서 전기 퍼텐셜을 관측하면, 그것은 홀극자, 쌍극자, 사극자, …의 전기 퍼텐셜의 합으로 근사시킬 수 있다.
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자세한 설명은 다중극 전개 문서에 잘 나와있다.
전기 쌍극자에 대해 논의하므로 이제부터는 제 2항만 논의하도록 한다. 해당 항을 다시 쓰면,
[math( displaystyle frac{1}{4 pi varepsilon_{0} r^2 } iiint r' cos{theta} rho(mathbf{r'}),dV' =frac{1}{4 pi varepsilon_{0} r^2 } left [ iiint mathbf{r'} rho(mathbf{r'}),dV' right ] cdot hat{mathbf{r}} )]
이때, 전기 쌍극자를 다음으로 정의한다.
[math( displaystyle mathbf{p} equiv iiint mathbf{r'} rho(mathbf{r'}),dV' )]
이것은 맨 위의 확장 부분에서 소개했던 것이다.
따라서 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은
[math( displaystyle frac{1}{4 pi varepsilon_{0} r^2 } left [ iiint mathbf{r'} rho(mathbf{r'}),dV' right ] cdot hat{mathbf{r}}= frac{mathbf{p} cdot mathbf{r}}{4 pi varepsilon_{0}r^{3}} )]
으로 위와 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.
원점을 [math(mathbf{R})]만큼 이동했을 때, 기술되는 쌍극자를 [math(mathbf{p'})]라 하면, 이 좌표계에서 [math(mathbf{R'}=mathbf{r'}-mathbf{R})]가 되므로
[math( displaystyle mathbf{p'}= iiint mathbf{R'} rho(mathbf{r'}),dV'=iiint (mathbf{r'}-mathbf{R}) rho(mathbf{r'}),dV' )]
이것을 전개하면,
[math( displaystyle mathbf{p'}=iiint mathbf{r'} rho(mathbf{r'}),dV'-mathbf{R}iiint rho(mathbf{r'}),dV' )]
[math(mathbf{R})]는 적분과 무관한 상수벡터이므로 적분 밖으로 나올 수 있다. 여기서 제 1항은 [math(mathbf{p})]이고, 제 2항의 적분은 곧 총전하인데, 이것을 [math(Q)]라 놓으면 다음을 얻는다.
[math( displaystyle mathbf{p'}=mathbf{p}-Qmathbf{R} )]
위의 논의는 다음을 얻는다.
전기 쌍극자에 대해 논의하므로 이제부터는 제 2항만 논의하도록 한다. 해당 항을 다시 쓰면,
[math( displaystyle frac{1}{4 pi varepsilon_{0} r^2 } iiint r' cos{theta} rho(mathbf{r'}),dV' =frac{1}{4 pi varepsilon_{0} r^2 } left [ iiint mathbf{r'} rho(mathbf{r'}),dV' right ] cdot hat{mathbf{r}} )]
이때, 전기 쌍극자를 다음으로 정의한다.
[math( displaystyle mathbf{p} equiv iiint mathbf{r'} rho(mathbf{r'}),dV' )]
이것은 맨 위의 확장 부분에서 소개했던 것이다.
따라서 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은
[math( displaystyle frac{1}{4 pi varepsilon_{0} r^2 } left [ iiint mathbf{r'} rho(mathbf{r'}),dV' right ] cdot hat{mathbf{r}}= frac{mathbf{p} cdot mathbf{r}}{4 pi varepsilon_{0}r^{3}} )]
으로 위와 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.
원점을 [math(mathbf{R})]만큼 이동했을 때, 기술되는 쌍극자를 [math(mathbf{p'})]라 하면, 이 좌표계에서 [math(mathbf{R'}=mathbf{r'}-mathbf{R})]가 되므로
[math( displaystyle mathbf{p'}= iiint mathbf{R'} rho(mathbf{r'}),dV'=iiint (mathbf{r'}-mathbf{R}) rho(mathbf{r'}),dV' )]
이것을 전개하면,
[math( displaystyle mathbf{p'}=iiint mathbf{r'} rho(mathbf{r'}),dV'-mathbf{R}iiint rho(mathbf{r'}),dV' )]
[math(mathbf{R})]는 적분과 무관한 상수벡터이므로 적분 밖으로 나올 수 있다. 여기서 제 1항은 [math(mathbf{p})]이고, 제 2항의 적분은 곧 총전하인데, 이것을 [math(Q)]라 놓으면 다음을 얻는다.
[math( displaystyle mathbf{p'}=mathbf{p}-Qmathbf{R} )]
위의 논의는 다음을 얻는다.
전기 쌍극자 모멘트는 계의 총전하가 0이 아닌 이상 좌표계의 원점에 의존한다.
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이때, 계의 총전하가 0이 아닌 경우는 위에서 밝혔듯 계의 질량중심을 기준으로 원점을 잡는 것이 일반적이다.
4. 편극 밀도
5. 관련 문서
[1] 직교 좌표계에서 다중극 전개를 하였기 때문에 기저 벡터는 직교 좌표계의 기저 벡터를 쓰는 것이 옳다.[2] 다른 좌표계를 택할 수도 있으나, 이 경우엔 구면 좌표계의 [math(Phi )[3] 다른 좌표계를 택할 수도 있으나, 이 경우엔 구면 좌표계의 [math(Phi )[4] 다른 좌표계를 택할 수도 있으나, 이 경우엔 구면 좌표계의 [math(Phi )[5] 다른 좌표계를 택할 수도 있으나, 이 경우엔 구면 좌표계의 [math(Phi )[6] 이를테면, 수소 원자의 경우도 양성자와 전자로 구성된 전기 쌍극자로 볼 수 있는데, 거시적인 세계에서 볼 때를 기준으로는 두 전하는 극단적으로 간격이 줄어든 것으로 보이고, 수소 원자 입장에서도 거시적인 우리 세계는 극단적으로 먼 곳이므로 위와 같은 전기장이 나오게 된다.[7] 다루는 것은 점쌍극자이므로 음전하를 쌍극자의 중점으로 잡아도 상관 없다.[8] 테일러 급수의 벡터 버전.[9] 다루는 것은 점쌍극자이므로 음전하를 쌍극자의 중점으로 잡아도 상관 없다.[10] 테일러 급수의 벡터 버전.[11] 다루는 것은 점쌍극자이므로 음전하를 쌍극자의 중점으로 잡아도 상관 없다.[12] 테일러 급수의 벡터 버전.[13] 다루는 것은 점쌍극자이므로 음전하를 쌍극자의 중점으로 잡아도 상관 없다.[14] 테일러 급수의 벡터 버전.[15] [math( boldsymbol{nabla} cdot mathbf{E} = rho, / , varepsilon_0)[16] 정전기학은 기본적으로 보존장을 다루기 때문이다.