1. 개요
Multipole Expansion · 多重極展開
다중극 전개란 충분히 국소화된 상태로 분포하는 전하 밀도가 있을 때, 이 전하 밀도를 점전하와 쌍극자, 사중극자, 팔중극자 등으로 근사하여 퍼텐셜 함수를 전개하는 것을 의미한다.
쉽게 말하면, 어떤 공간상에 물체가 있고, 이 물체가 갖고있는 전자들의 복잡한 분포가 있을 것이다. 여기서 충분히 멀리 떨어져서 이 물질을 바라본다면 전하는 좁은 영역에 분포한다고 말할 수 있을 것이다. 이 때 멀리 떨어져 있다는 근사 조건을 활용하여 함수를 우리가 알기 쉬원 점전하나 쌍극자 등의 함수로 쓰자는 것이다.
다중극 전개란 충분히 국소화된 상태로 분포하는 전하 밀도가 있을 때, 이 전하 밀도를 점전하와 쌍극자, 사중극자, 팔중극자 등으로 근사하여 퍼텐셜 함수를 전개하는 것을 의미한다.
쉽게 말하면, 어떤 공간상에 물체가 있고, 이 물체가 갖고있는 전자들의 복잡한 분포가 있을 것이다. 여기서 충분히 멀리 떨어져서 이 물질을 바라본다면 전하는 좁은 영역에 분포한다고 말할 수 있을 것이다. 이 때 멀리 떨어져 있다는 근사 조건을 활용하여 함수를 우리가 알기 쉬원 점전하나 쌍극자 등의 함수로 쓰자는 것이다.
2. 유도
위 그림과 같이 임의의 전하분포 [math( displaystyle rho(mathbf{r'}) )]을 가정하자. 즉 [math( mathbf{r'} )]의 위치에 분포하는 전하밀도를 [math( mathbf{r} )]의 시점에서 관찰하고 있는 상황인 것이다.
그러면 잘 알다시피 [math(mathbf{r})]에서 전기 퍼텐셜은
[math(displaystyle Phi(mathbf{r})=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} iiint_{V} frac{rho(mathbf{r'})}{|mathbf{r-r'}|},dV' )]
위와 같이 쓰여질 것이다. [math(V)]는 전하가 있는 영역이고, 위 그림에선 음영 영역이 될 것이다. 이제 위의 전기 퍼텐셜을 다중극 전개한다고 생각하자. 다중극 전개는 전하분포의 위치로부터 충분히 멀리 떨어진 시점에서 관찰한다는 가정을 기억하자. 즉, [math(r' ll r)]이다.
2.1. 구면 좌표계에서의 전개
구면좌표계에서 다음과 같은 전개식[1]이 성립한다.
[math(displaystyle displaystyle Phi(mathbf{r}) ={1over 4pi varepsilon_0}sum_{l=0}^{infty} sum_{m=-l}^{l} {4pi over 2l+1} q_{l}^{m} {Y_{l}^m(theta, , phi)over r^{l+1}} )]
[math(Y_{l}^{m})]은 구면 조화 함수(Spherical harmonics)이다.
전개식의 유도는 다음과 같다. [math(r' ll r)]인 영역을 다루고 있으므로
[math(displaystyle {1over |mathbf{r-r'}|} = sum_{l=0}^{infty} {r_{<}^l over r_{>}^{l+1}}P_{l}(cos{gamma}) )]
이고, 여기서 [math(gamma)]는 [math(mathbf{r,,r'})] 사이의 각이며, [math(min(r,,r') equiv r_{<})], [math(max(r,,r') equiv r_{>})]이다. 여기에
[math(displaystyle P_{l}(cos{gamma}) = {4piover 2l+1} sum_{m=-l}^{l} Y_l^{m*}(theta',,phi')Y_l^m(theta,,phi) )]
를 가함으로 위의 다중극 전개가 얻어진다. 즉,
[math(displaystyle q_{l}^{m} = iiint_V Y_{l}^{m*}(theta',,phi')(r')^lrho(mathbf{r'}), dV' )]
임을 얻는다.
[math(displaystyle displaystyle Phi(mathbf{r}) ={1over 4pi varepsilon_0}sum_{l=0}^{infty} sum_{m=-l}^{l} {4pi over 2l+1} q_{l}^{m} {Y_{l}^m(theta, , phi)over r^{l+1}} )]
[math(Y_{l}^{m})]은 구면 조화 함수(Spherical harmonics)이다.
전개식의 유도는 다음과 같다. [math(r' ll r)]인 영역을 다루고 있으므로
[math(displaystyle {1over |mathbf{r-r'}|} = sum_{l=0}^{infty} {r_{<}^l over r_{>}^{l+1}}P_{l}(cos{gamma}) )]
이고, 여기서 [math(gamma)]는 [math(mathbf{r,,r'})] 사이의 각이며, [math(min(r,,r') equiv r_{<})], [math(max(r,,r') equiv r_{>})]이다. 여기에
[math(displaystyle P_{l}(cos{gamma}) = {4piover 2l+1} sum_{m=-l}^{l} Y_l^{m*}(theta',,phi')Y_l^m(theta,,phi) )]
를 가함으로 위의 다중극 전개가 얻어진다. 즉,
[math(displaystyle q_{l}^{m} = iiint_V Y_{l}^{m*}(theta',,phi')(r')^lrho(mathbf{r'}), dV' )]
임을 얻는다.
2.2. 직교 좌표계에서의 전개
직교좌표계에서는 잘 아는 테일러 전개를 이용해 보도록 하자. 잘 알다시피, 다변수 함수에 대하여 테일러 전개는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} frac{1}{|mathbf{r-r'}| } &=frac{1}{[(mathbf{r-r'})cdot(mathbf{r-r'}) ]^{1/2}} \ &=frac{1}{[r^{2}-2 mathbf{r cdot r'}+{r'}^{2}]^{1/2}} \ &=frac{1}{r} left[ 1-frac{2 mathbf{r cdot r'}+{r'}^{2}}{r^{2}} right ]^{-1/2} \ &=frac{1}{r} left[ 1-frac{1}{2} frac{{r'}^{2}-2mathbf{r cdot r'}}{r^{2}}+frac{3}{8} left(frac{{r'}^{2}-2mathbf{r cdot r'}}{r^{2}} right )^{2}+cdots right] end{aligned} )]
아래와 같은 정의
[math(displaystyle mathbf{p}(mathbf{r'})equiv iiint_{V} mathbf{r'}rho(mathbf{r'}),dV' qquad qquad Q_{ij} equiv iiint_{V} (3r'_{i}r'_{j}-delta_{ij}{r'}^{2}) rho(mathbf{r'}),dV' )]
로 두면 최종적으로 전기 퍼텐셜은
[math(displaystyle Phi(mathbf{r})=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}}left[ frac{Q_{mathrm{tot} }}{r}+frac{mathbf{p cdot r}}{r^{3}}+frac{1}{2}sum_{ij}Q_{ij}frac{r_{i}r_{j}}{r^{5}} + cdots right ] )]
로, 쓸 수 있다. 위에서 [math(Q_{mathrm{tot}})]는 전하 분포 [math(V)]의 총 전하이며, 다음과 같다.
[math(displaystyle Q_{mathrm{tot}} equiv iiint_{V} rho(mathbf{r'}) , dV' )]
위의 논의로 전기 퍼텐셜을 홀극(Monopole; 첫째항), 쌍극자(Dipole; 둘째항)와 사중극자(Quadrupole; 셋째항) 및 더 높은 항들로 전개된다는 것을 알 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} frac{1}{|mathbf{r-r'}| } &=frac{1}{[(mathbf{r-r'})cdot(mathbf{r-r'}) ]^{1/2}} \ &=frac{1}{[r^{2}-2 mathbf{r cdot r'}+{r'}^{2}]^{1/2}} \ &=frac{1}{r} left[ 1-frac{2 mathbf{r cdot r'}+{r'}^{2}}{r^{2}} right ]^{-1/2} \ &=frac{1}{r} left[ 1-frac{1}{2} frac{{r'}^{2}-2mathbf{r cdot r'}}{r^{2}}+frac{3}{8} left(frac{{r'}^{2}-2mathbf{r cdot r'}}{r^{2}} right )^{2}+cdots right] end{aligned} )]
아래와 같은 정의
[math(displaystyle mathbf{p}(mathbf{r'})equiv iiint_{V} mathbf{r'}rho(mathbf{r'}),dV' qquad qquad Q_{ij} equiv iiint_{V} (3r'_{i}r'_{j}-delta_{ij}{r'}^{2}) rho(mathbf{r'}),dV' )]
로 두면 최종적으로 전기 퍼텐셜은
[math(displaystyle Phi(mathbf{r})=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}}left[ frac{Q_{mathrm{tot} }}{r}+frac{mathbf{p cdot r}}{r^{3}}+frac{1}{2}sum_{ij}Q_{ij}frac{r_{i}r_{j}}{r^{5}} + cdots right ] )]
로, 쓸 수 있다. 위에서 [math(Q_{mathrm{tot}})]는 전하 분포 [math(V)]의 총 전하이며, 다음과 같다.
[math(displaystyle Q_{mathrm{tot}} equiv iiint_{V} rho(mathbf{r'}) , dV' )]
위의 논의로 전기 퍼텐셜을 홀극(Monopole; 첫째항), 쌍극자(Dipole; 둘째항)와 사중극자(Quadrupole; 셋째항) 및 더 높은 항들로 전개된다는 것을 알 수 있다.
3. 기타
- 보통 학부 과정에서는 쌍극자 정도까지만 근사하고, 사중극자나 팔중극자까지 근사하여 사용하는 경우는 거의 없다. 다행이라고 한다면 사중극자로 나아간다고 갑자기 내용이 기상천외해지진 않고 기본적 식의 형식은 위의 쌍극자 전개와 유사하다... 변수가 끔찍하게 많아질 뿐.