1. 도출
2차원 직교 좌표계에서 중심이 [math(mathrm{O}(a,,b))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원을 생각해보자. 원 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 [math(mathbf{r}=(x,,y))]라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 [math(mathbf{r}_{0}=(a,,b))]이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 [math(mathbf{r}-mathbf{r}_{0})]를 고려할 때
[math(displaystyle |mathbf{r}-mathbf{r}_{0}|=r )]
이 원을 기술하는 벡터 방정식이 된다. 양변을 제곱하면
[math(displaystyle begin{aligned} |mathbf{r}-mathbf{r}_{0}|^{2}&=(mathbf{r}-mathbf{r}_{0}) boldsymbol{cdot} (mathbf{r}-mathbf{r}_{0}) \&=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\ &=r^{2} end{aligned} )]
이 되므로 원을 기술하는 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다.
[math(displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} )]
이 방정식은 아래와 같이 중심이 [math(mathrm{C})]이고, 반지름이 [math(r)]인 원을 나타낸다.
파일:나무_원_방정식_좌표평면.png
[math(displaystyle |mathbf{r}-mathbf{r}_{0}|=r )]
이 원을 기술하는 벡터 방정식이 된다. 양변을 제곱하면
[math(displaystyle begin{aligned} |mathbf{r}-mathbf{r}_{0}|^{2}&=(mathbf{r}-mathbf{r}_{0}) boldsymbol{cdot} (mathbf{r}-mathbf{r}_{0}) \&=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\ &=r^{2} end{aligned} )]
이 되므로 원을 기술하는 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다.
[math(displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} )]
이 방정식은 아래와 같이 중심이 [math(mathrm{C})]이고, 반지름이 [math(r)]인 원을 나타낸다.
파일:나무_원_방정식_좌표평면.png
2. 일반형
위에서 도출한 원의 방정식을 표준형이라 한다. 그러나, 위의 식을 모두 전개하여 나타낸 방정식을 일반형이라 하는데, 그 꼴은 아래와 같다.
[math(displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 )]
이때, [math(A sim C)]는 상수이다. 이제 우리는 위 방정식으로 부터 표준형을 유도해보자. 위의 식을 다시 쓰면,
[math(displaystyle left( x^{2}+Ax+ frac{A^{2}}{4} right)+left( y^{2}+By+ frac{B^{2}}{4} right)=frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4} )]
이상에서
[math(displaystyle left( x+frac{A}{2} right)^{2}+left( y+frac{B}{2} right)^{2}=left[ sqrt{frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4}} right]^{2} )]
따라서 위의 결과로 부터 일반형 방정식은 원의 중심이
[math(displaystyle mathrm{C}left( -frac{A}{2},, -frac{B}{2} right) )]
이고, 반지름이
[math(displaystyle r=frac{sqrt{{A^{2}+B^{2}-4C} }}{2} )]
인 원을 나타냄을 알 수 있다.
표준형으로 나타낸 원이 원의 형태를 직관적으로 알아내기에 훨씬 좋은데도 일반형을 계속해서 사용하는 이유는 세 점의 좌표가 주어졌을 때 각각의 점을 모두 지나는 원을 구하는 것이 표준형보다 일반형이 훨씬 쉽기 때문이다. [math(x^2+y^2+Ax+By+C=0)]에 세 점의 좌표를 각각 대입한 뒤 얻어진 3개의 1차 방정식을 연립으로 풀어 [math(A,,B,,C)]값을 각각 구해내기만 하면 되기 때문. 여기에 위쪽에서 설명한 과정까지 거친다면 원의 모양도 쉽게 알아낼 수 있다.
[math(displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 )]
이때, [math(A sim C)]는 상수이다. 이제 우리는 위 방정식으로 부터 표준형을 유도해보자. 위의 식을 다시 쓰면,
[math(displaystyle left( x^{2}+Ax+ frac{A^{2}}{4} right)+left( y^{2}+By+ frac{B^{2}}{4} right)=frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4} )]
이상에서
[math(displaystyle left( x+frac{A}{2} right)^{2}+left( y+frac{B}{2} right)^{2}=left[ sqrt{frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4}} right]^{2} )]
따라서 위의 결과로 부터 일반형 방정식은 원의 중심이
[math(displaystyle mathrm{C}left( -frac{A}{2},, -frac{B}{2} right) )]
이고, 반지름이
[math(displaystyle r=frac{sqrt{{A^{2}+B^{2}-4C} }}{2} )]
인 원을 나타냄을 알 수 있다.
표준형으로 나타낸 원이 원의 형태를 직관적으로 알아내기에 훨씬 좋은데도 일반형을 계속해서 사용하는 이유는 세 점의 좌표가 주어졌을 때 각각의 점을 모두 지나는 원을 구하는 것이 표준형보다 일반형이 훨씬 쉽기 때문이다. [math(x^2+y^2+Ax+By+C=0)]에 세 점의 좌표를 각각 대입한 뒤 얻어진 3개의 1차 방정식을 연립으로 풀어 [math(A,,B,,C)]값을 각각 구해내기만 하면 되기 때문. 여기에 위쪽에서 설명한 과정까지 거친다면 원의 모양도 쉽게 알아낼 수 있다.
3. 양함수의 형태
원의 방정식의 일반형은 음함수[1] 형태이므로, 우리가 해석적으로 유용하게 분석하려면, 양함수 형태로 바꾸어주어야 한다. 양함수로 바꾸어주게 되면, 아래와 같이 나오게 된다.
[math(displaystyle f(x)=pm sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}+b )]
즉, 부호가 두 개로 나오는데, 이것은 원은 하나의 양함수로 표현할 수 없고, 상반원(아래의 그림에서 '적색 반원')과 하반원(아래의 그림에서 '청색 반원')으로 나누어져 양함수로 표현된다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참조하자:
파일:나무_원_방정식_좌표평면_양함수.png
한편, [math(r^2)]을 좌변으로 이항시키고 우변에 [math(0)] 대신 [math(f(x,,y))]를 넣은 이변수 함수 꼴([math(f(x,,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^{2})])로 만들 수도 있는데, 이 경우 높이가 무한대인 원기둥을 그린다.
[math(displaystyle f(x)=pm sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}+b )]
즉, 부호가 두 개로 나오는데, 이것은 원은 하나의 양함수로 표현할 수 없고, 상반원(아래의 그림에서 '적색 반원')과 하반원(아래의 그림에서 '청색 반원')으로 나누어져 양함수로 표현된다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참조하자:
파일:나무_원_방정식_좌표평면_양함수.png
한편, [math(r^2)]을 좌변으로 이항시키고 우변에 [math(0)] 대신 [math(f(x,,y))]를 넣은 이변수 함수 꼴([math(f(x,,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^{2})])로 만들 수도 있는데, 이 경우 높이가 무한대인 원기둥을 그린다.
4. 매개변수 방정식
삼각함수가 2차원 원을 이용하여 정의되므로 2차원 원은 삼각함수를 이용하여 나타내면 편리하다. 삼각함수의 정의로부터, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위에 있는 임의의 점을 [math((x, , y))]라고 하면 [math(theta)]를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수가 있다.
[math(begin{aligned} x&=rcos{theta} \ y&=rsin{theta} end{aligned})]
일반적으로 중심이 [math((a,, b))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위의 임의의 점을 [math((x, , y))]라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(begin{aligned} x&=a+rcostheta \ y&=b+rsintheta end{aligned})]
매개변수를 [math(t equiv tan{(theta/ 2)})]로 놓으면
[math(begin{aligned} costheta&={1-t^2 over 1+t^2} \ sintheta&={2t over 1+t^2} end{aligned})]
이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} x&=a+rleft( {1-t^2 over 1+t^2} right) \ y&=b+r left( {2t over 1+t^2} right) end{aligned})]
[math(begin{aligned} x&=rcos{theta} \ y&=rsin{theta} end{aligned})]
일반적으로 중심이 [math((a,, b))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위의 임의의 점을 [math((x, , y))]라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(begin{aligned} x&=a+rcostheta \ y&=b+rsintheta end{aligned})]
매개변수를 [math(t equiv tan{(theta/ 2)})]로 놓으면
[math(begin{aligned} costheta&={1-t^2 over 1+t^2} \ sintheta&={2t over 1+t^2} end{aligned})]
이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} x&=a+rleft( {1-t^2 over 1+t^2} right) \ y&=b+r left( {2t over 1+t^2} right) end{aligned})]
5. 극 좌표계
극좌표계에서는 거리와 각으로 점의 위치를 나타내므로 원점을 중심으로 하는 원은 방정식이 매우 간단하다. 원점을 중심으로 하지 않는 경우에는 코사인 법칙을 이용해 방정식을 유도한다.
원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math( r_0 )]인 원 위의 임의의 점을 극좌표로 [math((r,, theta))]이라 하면
[math(displaystyle r=r_0 )]
이다.
이제 아래의 그림과 같이 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식을 구해보도록 하자.
파일:namu_원_극방정식.png
위 그림과 같이 반지름의 길이가 [math(r_{0})]이고, 중심이 [math(mathrm{C}(a,,phi))]인 원을 고려하자. 위 그림에서 [math(mathrm{P})], [math(mathrm{O})]는 각각 원 위의 한 점, 원점임을 고려하면 삼각형 [math(mathrm{OCP})]는 제2 코사인 법칙을 사용함으로써
[math(displaystyle r^2-2arcos(theta-phi)+a^2={r_0}^2 )]
를 얻을 수 있는데, 이것이 바로 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식이다.
원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math( r_0 )]인 원 위의 임의의 점을 극좌표로 [math((r,, theta))]이라 하면
[math(displaystyle r=r_0 )]
이다.
이제 아래의 그림과 같이 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식을 구해보도록 하자.
파일:namu_원_극방정식.png
위 그림과 같이 반지름의 길이가 [math(r_{0})]이고, 중심이 [math(mathrm{C}(a,,phi))]인 원을 고려하자. 위 그림에서 [math(mathrm{P})], [math(mathrm{O})]는 각각 원 위의 한 점, 원점임을 고려하면 삼각형 [math(mathrm{OCP})]는 제2 코사인 법칙을 사용함으로써
[math(displaystyle r^2-2arcos(theta-phi)+a^2={r_0}^2 )]
를 얻을 수 있는데, 이것이 바로 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식이다.