[include(틀:상위 문서, top1=원(도형))] [목차] == 도출 == 2차원 직교 좌표계에서 중심이 [math(\mathrm{O}(a,\,b))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원을 생각해보자. 원 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}=(x,\,y))]라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}_{0}=(a,\,b))]이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 [math(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})]를 고려할 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|=r )]}}} 이 원을 기술하는 벡터 방정식이 된다. 양변을 제곱하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|^{2}&=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \\&=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\\ &=r^{2} \end{aligned} )]}}} 이 되므로 원을 기술하는 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} )]}}} 이 방정식은 아래와 같이 중심이 [math(\mathrm{C})]이고, 반지름이 [math(r)]인 원을 나타낸다. [[파일:나무_원_방정식_좌표평면.png|width=170&align=center]] == 일반형 == 위에서 도출한 원의 방정식을 '''표준형'''이라 한다. 그러나, 위의 식을 모두 전개하여 나타낸 방정식을 '''일반형'''이라 하는데, 그 꼴은 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 )]}}} 이때, [math(A \sim C)]는 상수이다. 이제 우리는 위 방정식으로 부터 표준형을 유도해보자. 위의 식을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \left( x^{2}+Ax+ \frac{A^{2}}{4} \right)+\left( y^{2}+By+ \frac{B^{2}}{4} \right)=\frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4} )]}}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \left( x+\frac{A}{2} \right)^{2}+\left( y+\frac{B}{2} \right)^{2}=\left[ \sqrt{\frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4}} \right]^{2} )]}}} 따라서 위의 결과로 부터 일반형 방정식은 원의 중심이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{C}\left( -\frac{A}{2},\, -\frac{B}{2} \right) )]}}} 이고, 반지름이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle r=\frac{\sqrt{{A^{2}+B^{2}-4C} }}{2} )]}}} 인 원을 나타냄을 알 수 있다. 표준형으로 나타낸 원이 원의 형태를 직관적으로 알아내기에 훨씬 좋은데도 일반형을 계속해서 사용하는 이유는 세 점의 좌표가 주어졌을 때 각각의 점을 모두 지나는 원을 구하는 것이 표준형보다 일반형이 훨씬 쉽기 때문이다. [math(x^2+y^2+Ax+By+C=0)]에 세 점의 좌표를 각각 대입한 뒤 얻어진 3개의 1차 방정식을 연립으로 풀어 [math(A,\,B,\,C)]값을 각각 구해내기만 하면 되기 때문. 여기에 위쪽에서 설명한 과정까지 거친다면 원의 모양도 쉽게 알아낼 수 있다. == 양함수의 형태 == 원의 방정식의 일반형은 [[음함수]][* 함숫값이 [[음수(수학)|음수]]라는 의미가 아닌, 함수의 성질이 숨어 있다(Implict function)는 의미이다.] 형태이므로, 우리가 해석적으로 유용하게 분석하려면, 양함수 형태로 바꾸어주어야 한다. 양함수로 바꾸어주게 되면, 아래와 같이 나오게 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f(x)=\pm \sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}+b )]}}} 즉, 부호가 두 개로 나오는데, 이것은 원은 하나의 양함수로 표현할 수 없고, 상반원(아래의 그림에서 '적색 반원')과 하반원(아래의 그림에서 '청색 반원')으로 나누어져 양함수로 표현된다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참조하자: [[파일:나무_원_방정식_좌표평면_양함수.png|width=220&align=center]] 한편, [math(r^2)]을 좌변으로 이항시키고 우변에 [math(0)] 대신 [math(f(x,\,y))]를 넣은 [[다변수함수|이변수 함수]] 꼴([math(f(x,\,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^{2})])로 만들 수도 있는데, 이 경우 높이가 무한대인 [[원기둥]]을 그린다. == 매개변수 방정식 == 삼각함수가 2차원 원을 이용하여 정의되므로 2차원 원은 삼각함수를 이용하여 나타내면 편리하다. 삼각함수의 정의로부터, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위에 있는 임의의 점을 [math((x, \, y))]라고 하면 [math(\theta)]를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수가 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} x&=r\cos{\theta} \\ y&=r\sin{\theta} \end{aligned})]}}} 일반적으로 중심이 [math((a,\, b))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위의 임의의 점을 [math((x, \, y))]라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} x&=a+r\cos\theta \\ \ y&=b+r\sin\theta \end{aligned})]}}} 매개변수를 [math(t \equiv \tan{(\theta/ 2)})]로 놓으면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \cos\theta&={1-t^2 \over 1+t^2} \\ \ \sin\theta&={2t \over 1+t^2} \end{aligned})]}}} 이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} x&=a+r\left( {1-t^2 \over 1+t^2} \right) \\ y&=b+r \left( {2t \over 1+t^2} \right) \end{aligned})]}}} == 극 좌표계 == [[극좌표계]]에서는 거리와 각으로 점의 위치를 나타내므로 원점을 중심으로 하는 원은 방정식이 매우 간단하다. 원점을 중심으로 하지 않는 경우에는 코사인 법칙을 이용해 방정식을 유도한다. 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math( r_0 )]인 원 위의 임의의 점을 극좌표로 [math((r,\, \theta))]이라 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle r=r_0 )]}}} 이다. 이제 아래의 그림과 같이 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식을 구해보도록 하자. [[파일:namu_원_극방정식.png|width=220&align=center]] 위 그림과 같이 반지름의 길이가 [math(r_{0})]이고, 중심이 [math(\mathrm{C}(a,\,\phi))]인 원을 고려하자. 위 그림에서 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{O})]는 각각 원 위의 한 점, 원점임을 고려하면 삼각형 [math(\mathrm{OCP})]는 [[코사인 법칙|제2 코사인 법칙]]을 사용함으로써 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle r^2-2ar\cos(\theta-\phi)+a^2={r_0}^2 )]}}} 를 얻을 수 있는데, 이것이 바로 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식이다. [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=원(도형), version=143, paragraph=2)] [[분류:방정식]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]