[include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:원뿔곡선)] [목차] == 개요 == {{{+1 hyperbola · [[雙]][[曲]][[線]]}}} [[기하학]]에 등장하는 [[도형]]의 일종으로, ||<table width=100%> '''평면 상의 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합''' || 으로 정의한다. 위에서 해당 정점을 '''초점(foci[* __쌍__곡선이므로 복수형인 foci이다.])'''이라 한다. 여담으로, 다른 [[원뿔곡선]]인 포물선과 원, 타원은 알고 있었던 사람이 있었겠지만, 쌍곡선은 거의 [[기하와 벡터]] 과목을 배우면서 처음 접하는 경우가 많아 생소한 느낌이 많이 드는 도형일 것이다. == 상세 == === 쌍곡선의 방정식 === 아래는 하위 문단의 내용을 요약한 표이다. * '''초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우''': [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )] * 그래프 [[파일:나무_쌍곡선_테이블_1.png|width=200&align=center]] * 조건: [math(|\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}|=\textsf{const.})] * 초점의 좌표: [math(\mathrm{F}( \sqrt{a^{2}+b^{2}},\,0) )], [math(\mathrm{F'}( -\sqrt{a^{2}+b^{2}},\,0) )] * 주축의 길이: [math(\displaystyle 2a )] * 점근선: [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)] * 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )] * 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )] * '''초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우''': [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )] * 그래프 [[파일:나무_쌍곡선_테이블_2.png|width=200&align=center]] * 조건: [math(|\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{PF'}}|=\textsf{const.})] * 초점의 좌표: [math(\mathrm{F}( 0,\,\sqrt{a^{2}+b^{2}}) )], [math(\mathrm{F'}( 0,\,-\sqrt{a^{2}+b^{2}}) )] * 주축의 길이: [math(\displaystyle 2b )] * 점근선: [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)] * 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )] * 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}} )] ==== 유도 ==== '''[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우''' [[파일:나무_쌍곡선_1.png|width=180&align=center]] 그림과 같이 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))]이고, 초점이 [math(\mathrm{F}(c,\,0))], [math(\mathrm{F'}(-c,\,0))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 [math(\overline{\mathrm{AA'}}=2a)]여야 함을 알 수 있다.(참고로 [math(\overline{\mathrm{AA'}})]를 '''주축의 길이'''라 한다.) 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle (\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}})^{2}=4a^{2} )] }}} 이것을 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}-4a^{2}=2\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} )] }}} 이것을 다시 제곱하고, 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2}) )] }}} 이때, [math(b^{2} \equiv c^{2}-a^{2})]이라 놓고, 식을 정리함으로써 쌍곡선의 방정식을 얻는다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )] }}} 그런데, 우리는 이 방정식을 양함수 형태로 아래와 같이 고칠 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x\sqrt{1-\frac{a^{2}}{x^{2} }} )] }}} 이때, [math(x^{2} \to \infty)]일 때, 근호는 1에 한없이 가까워지고, 결국 쌍곡선은 어떠한 직선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)] }}} 에 가까워지는데, 이 직선을 '''쌍곡선의 점근선'''이라 한다. '''[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우''' [[파일:나무_쌍곡선_2.png|width=150&align=center]] 그림과 같이 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(0,\,b))], [math(\mathrm{A'}(0,\,-b))]이고, 초점이 [math(\mathrm{F}(0,\,c))], [math(\mathrm{F'}(0,\,-c))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 주축의 길이인 [math(\overline{\mathrm{AA'}}=2b)]여야 함을 알 수 있다. 따라서 위에서 다뤘던 논법과 유사하게 쌍곡선의 방정식을 유도할 수 있으며, 여기선 결과만을 적는다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )] }}} 단, [math(a^{2}=c^{2}-b^{2})]이다. 또한 이 경우 또한, 점근선이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)] }}} 임을 위와 같은 논법으로 증명할 수 있다. ==== 일반형 ==== 쌍곡선 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 \quad )] (단, [math(AB<0)]) }}} 이때, [math(A \sim E)]는 상수이며, 이 일반형을 표준형 꼴로 바꾸면, 쉽게 어떤 쌍곡선을 나타내는 방정식인지 알 수 있게 된다. 괄호 안은 [math(x^2)]항과 [math(y^2)]의 계수의 부호가 반대임을 의미한다. === [[비례·반비례|반비례 관계의 그래프]]와의 관계 === [[비례·반비례|반비례 관계의 그래프]] [math(y=ax^{-1})]을 고려해보자. 여기서 [math(a)]는 상수이다. 이 함수는 [math(\pi/4)][* [math(45 \degree)]]만큼의 회전변환을 통하여 위의 쌍곡선의 표준형으로 나타낼 수 있다. [math(\pi/4)]만큼의 회전변환을 기술하는 행렬은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos{\dfrac{\pi}{4}} & -\sin{\dfrac{\pi}{4}} \\ \\ \sin{\dfrac{\pi}{4}} & \cos{\dfrac{\pi}{4}} \end{bmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} )] }}} 이 변환에 의해 점 [math((x,\,y) \to (x',\,y'))]으로 옮겨진다고 하자. 그러면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{aligned} )] }}} 로 쓸 수 있고, 여기서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \begin{aligned} x'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x - y) \\ y'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x + y) \end{aligned} )] }}} 이때, 각각을 제곱하고 그 차를 구함으로써 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( x'^2-y'^2=-2xy )] }}} 우리가 다루는 함수가 [math(y=ax^{-1})]임을 상기하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( x'^2-y'^2=-2a )] }}} 이것을 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \dfrac{x'^2}{2a}-\dfrac{y'^{2}}{2a}=-1 )] }}} 으로 이것은 명백히 초점이 [math( \mathrm{F}(0,\,2\sqrt{a}) )], [math( \mathrm{F'}(0,\,-2\sqrt{a}) )]에 있는 쌍곡선을 기술하는 방정식임을 알 수 있다. 이번엔 두 곡선이 교점[math((x_0, y_0))]에서 어떻게 접하는지 알아보자. 두 곡선의 기울기를 각각 [math(m_1, m_2)]라고 하자. 쌍곡선 함수를 음함수의 미분을 통해 접선의 기울기를 구하면 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \begin{aligned} \dfrac{2x}{2a}-\dfrac{2y}{2a}\dfrac{dy}{dx}=0 \\ \therefore m_1=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y} \end{aligned} )] }}} 반비례 관계 함수를 같은 방법으로 미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \begin{aligned} m_2=\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{a}{x^2} \end{aligned} )] }}} 이제 교점에서 이 둘을 곱하면 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \begin{aligned} m_1m_2=-\dfrac{a}{x_0^2}\dfrac{x_0}{y_0}=-\dfrac{a}{x_0y_0} \end{aligned} )] }}} 이때, 점[math((x_0, y_0))]은 두 곡선의 교점이므로 반비례 그래프 위의 점으로 볼 수 있다. 따라서 [math(x_0y_0=a)]이므로, 교점에서 두 기울기의 곱은 -1이다. 즉 교점에서 두 곡선은 직교한다. 따라서 [[비례·반비례|반비례 관계의 그래프]]는 쌍곡선을 회전변환 시킨 곡선으로 쌍곡선의 한 종류이며, 회전하기 전의 쌍곡선과 회전한 후의 쌍곡선은 교점에서 직교한다. === 쌍곡선과 직선 === ==== 쌍곡선과 직선의 위치 관계 ==== 우리는 임의의 직선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y-mx-n=0 )] }}} 이 쌍곡선과 어떤 관계에 있는지 조사한다. 이것은 다음의 순서를 따른다. ||<table width=100%> 1. '''우선 직선의 방정식을 한 변수에 대하여 정리하라.''' 1. 1'''에서 정리한 직선을 원의 방정식에 대입하고, 적절히 이항하여, 이차방정식을 만든다.''' 1. 2'''에서 나온 이차방정식에 판별식 [math(\boldsymbol{D})]을 적용한다.''' || 3의 과정에서 판별식의 부호에 따라 다음을 얻는다: * '''판별식의 부호가 양이다''' : 쌍곡선과 직선은 두 점에서 만난다. * '''판별식이 0이다''' : 쌍곡선과 직선은 접한다.(즉, 쌍곡선과 직선은 한 점에서 만난다.) * '''판별식의 부호가 음이다''' : 쌍곡선과 직선은 만나지 않는다. [[파일:쌍곡선_접선.png|width=200&align=center]] ==== 쌍곡선의 접선 ==== ===== 쌍곡선 위의 점에서의 접선 ===== 이 문단에서는 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]에서 접선의 방정식을 구해볼 것이다. '''[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우''' 우선 우리는 음함수의 미분법을 이용하여, 접선의 기울기를 구하자: {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} =0 \,\to\, \frac{dy}{dx}=\frac{b^{2}x}{a^{2}y} )] }}} 이상에서 해당 점 위의 접선의 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y-y_{1}=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1}) )] }}} 위 식을 정리하면, 다음의 접선의 방정식이 얻어진다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )] }}} '''[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우''' 위와 같은 방법으로 우리는 접선의 방정식이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )] }}} 임을 증명할 수 있다. ===== 특정한 기울기의 접선 ===== 우리가 구하는 직선의 방정식을 [math(y=mx+n)]으로 놓자. 그리고, 이것을 쌍곡선 방정식에 대입하고, [math(x)]에 대한 이차 방정식을 만든다. 그 후, 해당 이차 방정식이 중근을 갖으면, 즉, 판별식이 0이 되면 직선과 쌍곡선은 접하므로 그것을 이용하면 된다. '''[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우''' 이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle n=\pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})] }}} 이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})] }}} '''[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우''' 이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle n=\pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})] }}} 이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})] }}} == 기타 성질 == == 기타 == * [[물리학]]에서, 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족하면, 쌍곡선 운동을 하게 된다. * [[쌍곡선 함수]]가 이 쌍곡선과 관련되어 있다. * [[특수 상대성 이론]]에서 쌍곡선 기하학이 사용된다. === 비유적 표현 === >한아름 안고 백화점 나오는 손, 뒤따르는 거지의 '''쌍곡선''' > >이곳에는 이 사회에서 반듯이 존재해 잇는 도회의 '''쌍곡선'''이 흐르고 잇는 것이엇다. 보라! [[백화점]] 앞에 [[자선냄비|자선남비]]와 굉장히 높은 빌딩 문간에 헌 누덕이 잠자리와, 물건을 사가지고 가는 사람에게 매달이는 어린 거지를. 그곳에는 다 각각 다른 인생의 명암이 있는 것이엇다. 이러케 생각하고 보니 [[네온사인|네온싸인]]과 이루미네슌[* 일루미네이션(illumination)]도 [[빈부격차|빈부귀천]]의 '''쌍곡선'''이 흘으는 것 같앗다. > ----- > ''[[https://newslibrary.naver.com/viewer/index.nhn?articleId=1933122700209102017&editNo=2&printCount=1&publishDate=1933-12-27&officeId=00020&pageNo=2&printNo=4686&publishType=00010|1933년 12월 27일 동아일보]]'' 서로 만나지 않으면서 가까운 곳에서 출발해 멀어지는 쌍곡선의 특징에 착안해 '○○의 쌍곡선'과 같이 비유적 표현에 종종 사용된다. 대표적으로 '희비쌍곡선'이란 표현이 있다. 비슷한 시간이나 장소에서 발생/존재하지만 전혀 다른 방향으로 진행하는 속성을 가진 것을 비유한다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[기하학]] * [[원뿔곡선]] [[분류:기하학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]