1. 개요
社交数, 群居性數 / sociable Numbers, aliquot cycle
친화수를 일반화한 개념이다. 군거성수(群居性數)라고도 한다.
서로 다른 여러 자연수 [math(n_1, n_2, n_3, ... , n_k )]가 있을 때, [math(n_1)]의 진약수들의 합이 [math(n_2)]이 되고, [math(n_2)]의 진약수들의 합이 [math(n_3)]이 되고, 이것이 계속되다가 [math(n_k)]의 진약수들의 합이 다시 [math(n_1)]이 되면, 이 수들을 사교수라고 한다.
일반적으로 주기(k)가 3 이상인 경우에 사교수라고 부르며, k=2인 경우는 친화수이고, k=1인 경우는 완전수가 된다. 다만, 경우에 따라서는 k가 1 이상인 모든 경우(완전수, 친화수 포함)를 다 묶어서 사교수라고 부르기도 한다.
친화수를 일반화한 개념이다. 군거성수(群居性數)라고도 한다.
서로 다른 여러 자연수 [math(n_1, n_2, n_3, ... , n_k )]가 있을 때, [math(n_1)]의 진약수들의 합이 [math(n_2)]이 되고, [math(n_2)]의 진약수들의 합이 [math(n_3)]이 되고, 이것이 계속되다가 [math(n_k)]의 진약수들의 합이 다시 [math(n_1)]이 되면, 이 수들을 사교수라고 한다.
일반적으로 주기(k)가 3 이상인 경우에 사교수라고 부르며, k=2인 경우는 친화수이고, k=1인 경우는 완전수가 된다. 다만, 경우에 따라서는 k가 1 이상인 모든 경우(완전수, 친화수 포함)를 다 묶어서 사교수라고 부르기도 한다.
2. 성질
어떤 수 n의 약수 함수(divisor function) [math(sigmaleft(nright))]는 n의 모든 약수의 합을 나타낸다. Aliquot sum이라고 부르는 함수 s(n)은 'n의 모든 진약수의 합'을 의미한다. 이를 약수 함수로 쓰면 [math(sleft(nright) = sigmaleft(nright) - n)]이 된다.
Aliquot sequence는 이 Aliquot sum을 반복 계산해서 나오는 수열이다. 그런데, 이 수열이 어떤 주기로 반복될 경우 Aliquot cycle이라고 부른다. 그리고, 이 Aliquot cycle은 정의상 '사교수'와 동일하다. 엄밀하게 따지면 Aliquot cycle = { 완전수 } ∪ { 친화수 } ∪ { 사교수 }이다.
Aliquot sequence는 이 Aliquot sum을 반복 계산해서 나오는 수열이다. 그런데, 이 수열이 어떤 주기로 반복될 경우 Aliquot cycle이라고 부른다. 그리고, 이 Aliquot cycle은 정의상 '사교수'와 동일하다. 엄밀하게 따지면 Aliquot cycle = { 완전수 } ∪ { 친화수 } ∪ { 사교수 }이다.
3. 사교수 목록
- 4, 5, 6, 8, 9, 28의 주기를 가지는 사교수가 확인되었다. 다른 주기가 있는지 여부는 알려지지 않았다.
- 발견된 사교수의 99%[2]는 4의 주기를 가지고 있다.
- 가장 작은 수로 시작하는 사교수는 {12496, 14288, 15472, 14536, 14264}이며 유일하게 발견된 5의 주기 사교수이다.
- 두번째로 작은 수로 시작하는 사교수는 14316으로 시작하고 유일하게 발견된 28의 주기 사교수이다.
- 805984760으로 시작하는 사교수는 유일하게 발견된 9의 주기 사교수이다.
- 6의 주기를 가지는 사교수는 5가지, 8의 주기를 가지는 사교수는 2가지 발견되었다. 또한, 5개, 9개, 28개로 이루어진 사교수는 상술하였듯이 각각 1가지씩 발견되었다.