[include(틀:정수론)] [include(틀:약수의 합에 따른 자연수의 분류)] [목차] == 개요 == {{{+3 [[社]][[交]][[数]], [[群]][[居]][[性]][[數]] / sociable Numbers, aliquot cycle}}} [[친화수]]를 일반화한 개념이다. 군거성수([[群]][[居]][[性]][[數]])라고도 한다. 서로 다른 여러 자연수 [math(n_1, n_2, n_3, ... , n_k )]가 있을 때, [math(n_1)]의 [[약수(수학)|진약수]]들의 합이 [math(n_2)]이 되고, [math(n_2)]의 진약수들의 합이 [math(n_3)]이 되고, 이것이 계속되다가 [math(n_k)]의 진약수들의 합이 다시 [math(n_1)]이 되면, 이 수들을 사교수라고 한다. 일반적으로 주기(k)가 3 이상인 경우에 사교수라고 부르며, k=2인 경우는 [[친화수]]이고, k=1인 경우는 [[완전수]]가 된다. 다만, 경우에 따라서는 k가 1 이상인 모든 경우(완전수, 친화수 포함)를 다 묶어서 사교수라고 부르기도 한다. == 성질 == 어떤 수 n의 약수 함수(divisor function) [math(\sigma\left(n\right))]는 n의 모든 [[약수(수학)|약수]]의 합을 나타낸다. Aliquot sum이라고 부르는 함수 s(n)은 'n의 모든 진약수의 합'을 의미한다. 이를 약수 함수로 쓰면 [math(s\left(n\right) = \sigma\left(n\right) - n)]이 된다. Aliquot sequence는 이 Aliquot sum을 반복 계산해서 나오는 수열이다. 그런데, 이 수열이 어떤 주기로 반복될 경우 Aliquot cycle이라고 부른다. 그리고, 이 Aliquot cycle은 정의상 '사교수'와 동일하다. 엄밀하게 따지면 '''Aliquot cycle = { 완전수 } ∪ { 친화수 } ∪ { 사교수 }'''이다. == 사교수 목록 == 2017년 기준으로 주기가 3이상 사교수는 총 5410개가 발견되었다. [[http://djm.cc/sociable.txt|보러가기]] * 4, 5, 6, 8, 9, 28의 주기를 가지는 사교수가 확인되었다. 다른 주기가 있는지 여부는 알려지지 않았다. * 발견된 사교수의 '''99%'''[* 5410개 중 5398개]는 '''4의 주기'''를 가지고 있다. * 가장 작은 수로 시작하는 사교수는 {12496, 14288, 15472, 14536, 14264}이며 '''유일하게''' 발견된 5의 주기 사교수이다. * 두번째로 작은 수로 시작하는 사교수는 14316으로 시작하고 '''유일하게''' 발견된 28의 주기 사교수이다. * 805984760으로 시작하는 사교수는 '''유일하게''' 발견된 9의 주기 사교수이다. * 6의 주기를 가지는 사교수는 5가지, 8의 주기를 가지는 사교수는 2가지 발견되었다. 또한, 5개, 9개, 28개로 이루어진 사교수는 상술하였듯이 각각 1가지씩 발견되었다. * 3의 주기를 가지는 사교수는 아직 없으며, 정말로 존재하진 않는지 아닌지도 잘 알려져 있지 않다. 또한 3개의 자연수로 이루어진 사교수가 존재하지 않는다는 명제도 아직 증명이 되지는 않았다. 홀수 [[완전수]]의 [[반완전수|존재성]]의 문제와 비슷하게, 사교수는 무한히 많은지, n개의 자연수로 이루어진 사교수가 얼마나 존재할 수 있는지, 아직 발견되지 않은 다른 주기의 자연수로 이루어진 사교수가 존재할 수 있는지와 같은 문제는 아직까지 해결하지 못하고 있다. [[분류:정수론]][[분류:수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]