1. 개요
부분적분(Integration by parts)이란, 두 함수의 곱으로 정의된 함수를 적분하는 기법이다.
미분가능한 연속함수 [math(f(x))], [math(g(x))]에 대해서 다음과 같이 부정적분, 정적분할 수 있다. [math(f(x))], [math(g(x))]의 도함수도 각각 연속이여야 한다. 자세히 보면 알겠지만 곱의 미분법에서 도출된 공식이다.
미분가능한 연속함수 [math(f(x))], [math(g(x))]에 대해서 다음과 같이 부정적분, 정적분할 수 있다. [math(f(x))], [math(g(x))]의 도함수도 각각 연속이여야 한다. 자세히 보면 알겠지만 곱의 미분법에서 도출된 공식이다.
[math(displaystyle begin{aligned} int f(x)g'(x),mathrm{d}x&=f(x)g(x)-int f'(x)g(x),mathrm{d}x \ int_{a}^{b} f(x)g'(x),mathrm{d}x&=biggl[ f(x)g(x) biggr]_{a}^{b}-int_{a}^{b} f'(x)g(x),mathrm{d}x end{aligned} )]
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2. 유도
곱의 미분법에 따라
[math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]=f(x)frac{mathrm{d}g(x)}{mathrm{d}x}+frac{mathrm{d} f(x)}{mathrm{d}x}g(x) )]
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양변을 적분해주면,
[math(displaystyle int frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[f(x)g(x) ],mathrm{d}x=int f(x)frac{mathrm{d}g(x)}{mathrm{d}x},mathrm{d}x+int frac{mathrm{d}f(x)}{mathrm{d}x}g(x),mathrm{d}x )]
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그런데, 좌변은
[math(displaystyle int frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[f(x)g(x) ],mathrm{d}x=int mathrm{d}[f(x)g(x) ]=f(x)g(x) )]
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이므로 결국,
[math(displaystyle f(x)g(x)=int f(x)frac{mathrm{d}g(x)}{mathrm{d}x},mathrm{d}x+int frac{mathrm{d}f(x)}{mathrm{d}x}g(x),mathrm{d}x )]
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이상에서 이항을 하면, 부분적분 공식이 유도된다. 여기서 [math(mathrm{d}f(x)/mathrm{d}x equiv f'(x))], [math(mathrm{d}g(x)/mathrm{d}x equiv g'(x))]로 썼다.
[math(displaystyle int f(x)g'(x),mathrm{d}x=f(x)g(x)-int f'(x)g(x),mathrm{d}x )]
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3. 우선 순위 : LIATE 법칙
4. 도표적분법
5. 스틸체스 적분 꼴
[math(displaystyle begin{aligned} int f(x),mathrm{d}g(x) &= f(x)g(x) - int g(x),mathrm{d}f(x) \ int_{a}^{b} f(x), mathrm{d} g(x) &= biggl[ f(x)g(x)biggr]_a^b-int_{a}^{b} g(x) , mathrm{d} f(x) end{aligned} )]
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6. 예제
7. 고등학교 교과과정에서
구 교육과정(2009 개정 교육과정)에선 미적분Ⅱ, 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에선 미적분에서 자연계열 학생만 배우는 방법이다. 교과서나 EBS교재[2] 등을 보면 항목 맨 위의 방법으로만 하라고 나와있어 [math( x ln x )]나 [math( a x cos x )]꼴의 함수 등을 계산하기 상당히 까다롭다. 세로셈식은 엄연한 정규 방법인데도 로피탈의 정리가 마검이면 이건 가히 엑스칼리버라 할 수 있을 만큼 쉬워진다. 그렇다고 저 정의식을 모르면 안되는 것이, 평가원이 가끔 정의식으로 해야 풀리는 문제를 출제한다.[3] 또한 적분파트의 최종보스로 이게 부분적분 써야하나 치환적분 써야하나 헷갈리는 문제도 많다. 공식을 유도하고 기출문제를 풀어 감을 익히는 것이 중요하다. 부분적분은 이과 수학 중 가장 계산이 더럽고 복잡한 연산법이라고 흔히들 이야기하기도 한다.