[include(틀:하위 문서, top1=부분적분/LIATE 법칙, top2=부분적분/예제)] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == '''부분적분(Integration by parts)'''이란, 두 함수의 곱으로 정의된 함수를 적분하는 기법이다. [[미분]]가능한 연속[[함수]] [math(f(x))], [math(g(x))]에 대해서 다음과 같이 부정적분, 정적분할 수 있다. [math(f(x))], [math(g(x))]의 도함수도 각각 연속이여야 한다. 자세히 보면 알겠지만 [[곱미분|곱의 미분법]]에서 도출된 공식이다. ||<tablebgcolor=#ffffff,#1f2023><tablebordercolor=#ffffff,#1f2023><table align=center>[math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \\ \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ f(x)g(x) \biggr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned} )] || == 유도 == 곱의 미분법에 따라 ||<tablebgcolor=#ffffff,#1f2023><tablebordercolor=#ffffff,#1f2023><table align=center>[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]=f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}g(x) )] || 양변을 적분해주면, ||<tablebgcolor=#ffffff,#1f2023><tablebordercolor=#ffffff,#1f2023><table align=center>[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )] || 그런데, 좌변은 ||<tablebgcolor=#ffffff,#1f2023><tablebordercolor=#ffffff,#1f2023><table align=center>[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}[f(x)g(x) ]=f(x)g(x) )] || 이므로 결국, ||<tablebgcolor=#ffffff,#1f2023><tablebordercolor=#ffffff,#1f2023><table align=center>[math(\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )] || 이상에서 이항을 하면, 부분적분 공식이 유도된다. 여기서 [math(\mathrm{d}f(x)/\mathrm{d}x \equiv f'(x))], [math(\mathrm{d}g(x)/\mathrm{d}x \equiv g'(x))]로 썼다. ||<tablebgcolor=#ffffff,#1f2023><tablebordercolor=#ffffff,#1f2023><table align=center>[math(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x )] || == 우선 순위 : [[부분적분/LIATE 법칙|LIATE 법칙]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=부분적분/LIATE 법칙)] == [[세로셈법#도표적분법|도표적분법]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=세로셈법, 앵커=도표적분법)] == [[스틸체스 적분]] 꼴 == ||<tablebgcolor=#ffffff,#1f2023><tablebordercolor=#ffffff,#1f2023><table align=center>[math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)\,\mathrm{d}g(x) &= f(x)g(x) - \int g(x)\,\mathrm{d}f(x) \\ \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d} g(x) &= \biggl[ f(x)g(x)\biggr]_a^b-\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} f(x) \end{aligned} )] || 미분계수가 함수인 꼴의 부분적분도 가능하다. 이 경우 미분을 하지 않는다는 차이점이 있다.[* 다만 미분계수 쪽의 함수가 미분가능하다면 미분한 상태로 적분식에 곱해주어 일반 적분으로 바꿀 수 있다.] == [[부분적분/예제|예제]] == [include(틀:하위 문서, top1=부분적분/예제)] == 고등학교 교과과정에서 == 구 교육과정(2009 개정 교육과정)에선 [[미적분Ⅱ]], 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에선 [[미적분(교과)|미적분]]에서 자연계열 학생만 배우는 방법이다. 교과서나 EBS교재[* [[수능특강]], [[수능완성]] 등] 등을 보면 항목 맨 위의 방법으로만 하라고 나와있어 [math( x \ln x )]나 [math( a x \cos x )]꼴의 함수 등을 계산하기 상당히 까다롭다. '''[[도표적분법|세로셈식]]은 엄연한 정규 방법'''인데도 [[로피탈의 정리]]가 마검이면 이건 가히 엑스칼리버라 할 수 있을 만큼 쉬워진다. 그렇다고 저 정의식을 모르면 안되는 것이, 평가원이 가끔 정의식으로 해야 풀리는 문제를 출제한다.[* [[2017학년도 대학수학능력시험]] 9월 모의평가 수학 가형 21번 등.] 또한 적분파트의 최종보스로 '''이게 부분적분 써야하나 [[치환적분]] 써야하나''' 헷갈리는 문제도 많다. 공식을 유도하고 기출문제를 풀어 감을 익히는 것이 중요하다. 부분적분은 이과 수학 중 가장 [[노가다(수학)|계산이 더럽고 복잡한 연산법]]이라고 흔히들 이야기하기도 한다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[미분]] * [[적분]], [[치환적분]] [[분류:해석학(수학)]][[분류:미적분]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]