1. 개요
2. 스칼라장의 면적분
곡면 [math(S)]에서 스칼라장 [math(f)]의 적분:
[math(displaystyle iint_S f ,mathrm{d}S = iint_{Sigma} f(mathbf{s}(u,,v)) left|frac{partialmathbf{s}}{partial u} times frac{partialmathbf{s}}{partial v}right| mathrm{d}u ,mathrm{d}v)]
여기서 [math(mathrm{d}S)]는 [math(S)]의 미소 면적, [math(mathbf{s})]는 [math(S)]를 [math(uv)] 평면으로 매개화한 것, [math(Sigma)]는 [math(S)]에 대응되는 [math(uv)] 평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분이다.
3. 벡터장의 면적분
곡면 [math(S)]에서 벡터장 [math(mathbf{F})]의 적분:
[math(displaystyle iint_S mathbf{F} cdot mathrm{d}mathbf{S} = iint_{Sigma} mathbf{F}(mathbf{s}(u,,v)) cdot !left(frac{partialmathbf{s}}{partial u} times frac{partialmathbf{s}}{partial v}right) mathrm{d}u ,mathrm{d}v)]
[math(mathrm{d}mathbf{S})]는 [math(S)]의 미소 면적인 [math(mathrm{d}S)]의 크기를 가졌으면서 [math(mathrm{d}S)]와 수직인 벡터, [math(mathbf{s})]는 [math(S)]를 [math(uv)] 평면으로 매개화한 것, [math(Sigma)]는 [math(S)]에 대응되는 [math(uv)]평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분.
이 정의는 방향의 모호함이 있는데, 방향을 바꾸면 마이너스가 붙는다(또는 외적의 순서가 바뀐다). 따라서 면적분을 할 때는 문제를 내는 이가 방향을 잡아줘야 한다. 단, 폐곡면이라면 닫힌 공간 바깥쪽을 양의 방향으로 잡는게 일반적이다.
벡터장의 면적분은 벡터장의 선속이라고 보면 된다[1]. 예를 들어, [math(mathbf{F})]가 물의 속력장이라면, [math(S)]에 대한 면적분은 시간당 [math(S)]를 통과하는 (방향성이 있는) 물의 부피다.
이 정의는 방향의 모호함이 있는데, 방향을 바꾸면 마이너스가 붙는다(또는 외적의 순서가 바뀐다). 따라서 면적분을 할 때는 문제를 내는 이가 방향을 잡아줘야 한다. 단, 폐곡면이라면 닫힌 공간 바깥쪽을 양의 방향으로 잡는게 일반적이다.
벡터장의 면적분은 벡터장의 선속이라고 보면 된다[1]. 예를 들어, [math(mathbf{F})]가 물의 속력장이라면, [math(S)]에 대한 면적분은 시간당 [math(S)]를 통과하는 (방향성이 있는) 물의 부피다.