[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[面]][[積]][[分]], surface integral}}} 벡터 미적분에 등장하는 개념. 곡면에 대한 [[적분]]이다. 3차원 공간에 어떤 스칼라장 [math(f)] 또는 벡터장 [math(\mathbf{F})]를 곡면 [math(S)] 위에서 적분하는 것. 평범한 1차원 적분을 확장한게 [[선적분]]이라면, 2차원인 이중적분을 비슷하게 확장한 것이 이 면적분이다. == 스칼라장의 면적분 == 곡면 [math(S)]에서 스칼라장 [math(f)]의 적분: >[math(\displaystyle \iint_S f \,\mathrm{d}S = \iint_{\Sigma} f(\mathbf{s}(u,\,v)) \left\|\frac{\partial\mathbf{s}}{\partial u} \times \frac{\partial\mathbf{s}}{\partial v}\right\| \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v)] 여기서 [math(\mathrm{d}S)]는 [math(S)]의 미소 면적, [math(\mathbf{s})]는 [math(S)]를 [math(uv)] 평면으로 [[매개변수|매개화]]한 것, [math(\Sigma)]는 [math(S)]에 대응되는 [math(uv)] 평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분이다. == 벡터장의 면적분 == 곡면 [math(S)]에서 벡터장 [math(\mathbf{F})]의 적분: >[math(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_{\Sigma} \mathbf{F}(\mathbf{s}(u,\,v)) \cdot \!\left(\frac{\partial\mathbf{s}}{\partial u} \times \frac{\partial\mathbf{s}}{\partial v}\right) \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v)] [math(\mathrm{d}\mathbf{S})]는 [math(S)]의 미소 면적인 [math(\mathrm{d}S)]의 크기를 가졌으면서 [math(\mathrm{d}S)]와 수직인 벡터, [math(\mathbf{s})]는 [math(S)]를 [math(uv)] 평면으로 매개화한 것, [math(\Sigma)]는 [math(S)]에 대응되는 [math(uv)]평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분. 이 정의는 방향의 모호함이 있는데, 방향을 바꾸면 마이너스가 붙는다(또는 외적의 순서가 바뀐다). 따라서 면적분을 할 때는 문제를 내는 이가 방향을 잡아줘야 한다. 단, 폐곡면이라면 닫힌 공간 바깥쪽을 양의 방향으로 잡는게 일반적이다. 벡터장의 면적분은 벡터장의 선속이라고 보면 된다[* 이 개념은 전기장과 자기장을 다루는 전자기학에서 중요하다.]. 예를 들어, [math(\mathbf{F})]가 물의 속력장이라면, [math(S)]에 대한 면적분은 시간당 [math(S)]를 통과하는 (방향성이 있는) 물의 부피다. == 관련 문서 == * [[선적분]] * [[스토크스 정리#s-3.4|켈빈-스토크스 정리]] * [[발산 정리]][* 폐곡면의 면적분을 구할때 매우 유용한 정리다.] * [[적분]] [[분류:해석학(수학)]][[분류:미적분]]