1. 개요
2. 상세
우리는 이 문제를 해결함에 있어 파동 방정식
[math(displaystyle nabla^{2} Psi=frac{1}{v^{2}} frac{partial^{2} Psi}{partial t^{2}} )]
를 사용한다. 이때 파동을 기술하는 함수 [math(Psi)]는 공간을 기술하는 성분 [math(psi(mathbf{r}))]과 시간을 기술하는 성분 [math(T(t))]의 곱으로 이루어져있다고 생각하고, 변수 분리를 진행한다. 즉,
[math(displaystyle Psi=psi(mathbf{r}) T(t) )]
으로 변수분리를 진행할 것이다. 이것을 위 파동방정식에 대입하면,
[math(displaystyle T nabla^{2} psi=psi frac{1}{v^{2}} frac{d^2 T}{d t^2} )]
이고, 양변을 [math(psi T)]로 나누면,
[math(displaystyle frac{1}{psi} nabla^{2} psi=frac{1}{v^{2}} frac{1}{T} frac{d^2 T}{d t^2})]
이로써 좌변과 우변은 공간 성분과 시간 성분으로 각각 분리되었다. 이로써 이것을 상수
[math(displaystyle frac{1}{psi} nabla^{2} psi=frac{1}{v^{2}} frac{1}{T} frac{d^2 T}{d t^2}=-k^{2} )]
와 같다고 놓자. 이때, [math(k)]는 자연수이다.[1]는 물리학적으로 파수를 나타내며 음수나 0이 될 수 없다.] [math(k^{2}v^{2} equiv omega^{2})]이라 두면 시간 성분에 대해선
[math(displaystyle frac{d^2 T}{d t^2}+omega^{2}T=0 )]
이고, 이것의 해는 [math(T sim e^{-i omega t})]의 꼴이다. 이에 우리는 공간 성분의 해만 찾으면 막의 진동을 기술하는 파동 함수를 얻을 수 있으며, 그 꼴은
[math(displaystyle Psi sim psi e^{-i omega t} )]
임을 알 수 있다. 따라서 아랫 문단서 부터는 공간 성분의 편미분 방정식
[math(displaystyle nabla^{2} psi+k^{2} psi=0 )]
을 푸는데 집중한다. 참고적으로 위의 꼴의 방정식을 헬름홀츠 방정식이라 한다.
[math(displaystyle nabla^{2} Psi=frac{1}{v^{2}} frac{partial^{2} Psi}{partial t^{2}} )]
를 사용한다. 이때 파동을 기술하는 함수 [math(Psi)]는 공간을 기술하는 성분 [math(psi(mathbf{r}))]과 시간을 기술하는 성분 [math(T(t))]의 곱으로 이루어져있다고 생각하고, 변수 분리를 진행한다. 즉,
[math(displaystyle Psi=psi(mathbf{r}) T(t) )]
으로 변수분리를 진행할 것이다. 이것을 위 파동방정식에 대입하면,
[math(displaystyle T nabla^{2} psi=psi frac{1}{v^{2}} frac{d^2 T}{d t^2} )]
이고, 양변을 [math(psi T)]로 나누면,
[math(displaystyle frac{1}{psi} nabla^{2} psi=frac{1}{v^{2}} frac{1}{T} frac{d^2 T}{d t^2})]
이로써 좌변과 우변은 공간 성분과 시간 성분으로 각각 분리되었다. 이로써 이것을 상수
[math(displaystyle frac{1}{psi} nabla^{2} psi=frac{1}{v^{2}} frac{1}{T} frac{d^2 T}{d t^2}=-k^{2} )]
와 같다고 놓자. 이때, [math(k)]는 자연수이다.[1]는 물리학적으로 파수를 나타내며 음수나 0이 될 수 없다.] [math(k^{2}v^{2} equiv omega^{2})]이라 두면 시간 성분에 대해선
[math(displaystyle frac{d^2 T}{d t^2}+omega^{2}T=0 )]
이고, 이것의 해는 [math(T sim e^{-i omega t})]의 꼴이다. 이에 우리는 공간 성분의 해만 찾으면 막의 진동을 기술하는 파동 함수를 얻을 수 있으며, 그 꼴은
[math(displaystyle Psi sim psi e^{-i omega t} )]
임을 알 수 있다. 따라서 아랫 문단서 부터는 공간 성분의 편미분 방정식
[math(displaystyle nabla^{2} psi+k^{2} psi=0 )]
을 푸는데 집중한다. 참고적으로 위의 꼴의 방정식을 헬름홀츠 방정식이라 한다.
2.1. 직사각형 막
이 문단에서는 [math(xy)]평면 위에 가로의 길이가 [math(a)], 세로의 길이가 [math(b)]인 직사각형 막이 있다고 생각해보자. 문제 특성 상 분석이 가장 용이한 3차원 직교 좌표계를 고려하고, 막의 끝은 모두 고정되어 있음에 따라
[math(displaystyle psi(x=0)=psi(x=a)=psi(y=0)=psi(y=b)=0 )]
이 경계 조건으로 사용된다.
파동 함수의 공간 성분을 [math(x)]축 성분 [math(X(x))], [math(y)]축 성분 [math(Y(y))]의 곱으로 변수 분리한다. 즉,
[math(displaystyle psi(x,,y)=X(x)Y(y) )]
따라서 위의 파동 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle Yfrac{d^{2}X}{dx^{2}}+Xfrac{d^{2}Y}{dy^{2}}+k^{2}XY=0 )]
양변을 [math(XY)]로 나눠주면,
[math(displaystyle frac{1}{X}frac{d^{2}X}{dx^{2}}+frac{1}{Y}frac{d^{2}Y}{dy^{2}}+k^{2}=0 )]
이때,
[math(displaystyle frac{1}{X}frac{d^{2}X}{dx^{2}} equiv -k_{m}^{2} qquad qquad k^{2}-k_{m}^{2} equiv k_{n}^{2} )]
이라 놓으면,
[math(displaystyle frac{1}{Y}frac{d^{2}Y}{dy^{2}}=-k_{n}^{2} )]
으로 쓸 수 있고, 이상에서 [math(X sim e^{ik_{m}x})], [math(Y sim e^{ik_{n}y})]이므로 결국 파동 방정식의 형태는
[math(displaystyle Psi=begin{Bmatrix} sin{k_{m}x} \ cos{k_{m}x} end{Bmatrix} begin{Bmatrix} sin{k_{n}y} \ cos{k_{n}y} end{Bmatrix} e^{-i omega_{m,n} t} )]
임을 알 수 있다. 여기서
[math(displaystyle omega_{m,n}^{2}=(k_{m}^{2}+k_{n}^{2})v^{2} )]
이다. 그런데 경계 조건에 의해 [math(psi(x=0)=psi(y=0)=0)]에서 공간 성분에서 Cosine 항은 해가 될 수 없다는 것을 얻는다. 또한, [math(psi(x=a)=psi(y=b)=0)]에서
[math(displaystyle k_{m}a=frac{m pi}{2},( m in mathbb{N}) qquad qquad k_{n}b=frac{n pi}{2},( n in mathbb{N}) )]
이상에서 사각형 막을 기술하는 파동 함수는
[math(displaystyle Psi=sum_{mn} A_{m,n}sin{left( frac{m pi x}{2a} right)} sin{left( frac{m pi x}{2a} right)} exp{left(- frac{ivt}{2} sqrt{frac{m^{2}}{a^{2}}+frac{n^{2}}{b^{2} }} right )} )]
임을 알 수 있다. 여기서 [math(A_{m,n})]은 각 진동 모드의 진폭이라 해석할 수 있는 상수이다. 이에 사각형 막의 진동은 다음의 고유 진동 모드
[math(displaystyle Psi_{m,n}=A_{m,n} sin{left( frac{m pi x}{2a} right)} sin{left( frac{m pi x}{2a} right)} exp{left(- frac{ivt}{2} sqrt{frac{m^{2}}{a^{2}}+frac{n^{2}}{b^{2} }} right )} )]
의 합으로 주어지고, 각 고유 진동 모드의 각진동수는
[math(displaystyle omega_{m,n}=frac{v}{2} sqrt{frac{m^{2}}{a^{2}}+frac{n^{2}}{b^{2} }} ,, ( m,,n in mathbb{N}) )]
임을 알 수 있다. 참고적으로 [math(a=b equiv c)]일 때 각 고유 진동 모드의 각진동수는
[math(displaystyle omega_{m,n}=frac{v}{2c} sqrt{{m^{2}}+{n^{2} }} ,, ( m,,n in mathbb{N}) )]
으로 축퇴(Degeneracy)가 일어날 수 있음을 알 수 있다.
이곳에서 직사각형 막의 고유 진동 양상을 볼 수 있다.
[math(displaystyle psi(x=0)=psi(x=a)=psi(y=0)=psi(y=b)=0 )]
이 경계 조건으로 사용된다.
파동 함수의 공간 성분을 [math(x)]축 성분 [math(X(x))], [math(y)]축 성분 [math(Y(y))]의 곱으로 변수 분리한다. 즉,
[math(displaystyle psi(x,,y)=X(x)Y(y) )]
따라서 위의 파동 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle Yfrac{d^{2}X}{dx^{2}}+Xfrac{d^{2}Y}{dy^{2}}+k^{2}XY=0 )]
양변을 [math(XY)]로 나눠주면,
[math(displaystyle frac{1}{X}frac{d^{2}X}{dx^{2}}+frac{1}{Y}frac{d^{2}Y}{dy^{2}}+k^{2}=0 )]
이때,
[math(displaystyle frac{1}{X}frac{d^{2}X}{dx^{2}} equiv -k_{m}^{2} qquad qquad k^{2}-k_{m}^{2} equiv k_{n}^{2} )]
이라 놓으면,
[math(displaystyle frac{1}{Y}frac{d^{2}Y}{dy^{2}}=-k_{n}^{2} )]
으로 쓸 수 있고, 이상에서 [math(X sim e^{ik_{m}x})], [math(Y sim e^{ik_{n}y})]이므로 결국 파동 방정식의 형태는
[math(displaystyle Psi=begin{Bmatrix} sin{k_{m}x} \ cos{k_{m}x} end{Bmatrix} begin{Bmatrix} sin{k_{n}y} \ cos{k_{n}y} end{Bmatrix} e^{-i omega_{m,n} t} )]
임을 알 수 있다. 여기서
[math(displaystyle omega_{m,n}^{2}=(k_{m}^{2}+k_{n}^{2})v^{2} )]
이다. 그런데 경계 조건에 의해 [math(psi(x=0)=psi(y=0)=0)]에서 공간 성분에서 Cosine 항은 해가 될 수 없다는 것을 얻는다. 또한, [math(psi(x=a)=psi(y=b)=0)]에서
[math(displaystyle k_{m}a=frac{m pi}{2},( m in mathbb{N}) qquad qquad k_{n}b=frac{n pi}{2},( n in mathbb{N}) )]
이상에서 사각형 막을 기술하는 파동 함수는
[math(displaystyle Psi=sum_{mn} A_{m,n}sin{left( frac{m pi x}{2a} right)} sin{left( frac{m pi x}{2a} right)} exp{left(- frac{ivt}{2} sqrt{frac{m^{2}}{a^{2}}+frac{n^{2}}{b^{2} }} right )} )]
임을 알 수 있다. 여기서 [math(A_{m,n})]은 각 진동 모드의 진폭이라 해석할 수 있는 상수이다. 이에 사각형 막의 진동은 다음의 고유 진동 모드
[math(displaystyle Psi_{m,n}=A_{m,n} sin{left( frac{m pi x}{2a} right)} sin{left( frac{m pi x}{2a} right)} exp{left(- frac{ivt}{2} sqrt{frac{m^{2}}{a^{2}}+frac{n^{2}}{b^{2} }} right )} )]
의 합으로 주어지고, 각 고유 진동 모드의 각진동수는
[math(displaystyle omega_{m,n}=frac{v}{2} sqrt{frac{m^{2}}{a^{2}}+frac{n^{2}}{b^{2} }} ,, ( m,,n in mathbb{N}) )]
임을 알 수 있다. 참고적으로 [math(a=b equiv c)]일 때 각 고유 진동 모드의 각진동수는
[math(displaystyle omega_{m,n}=frac{v}{2c} sqrt{{m^{2}}+{n^{2} }} ,, ( m,,n in mathbb{N}) )]
으로 축퇴(Degeneracy)가 일어날 수 있음을 알 수 있다.
이곳에서 직사각형 막의 고유 진동 양상을 볼 수 있다.
2.2. 원형 막
이 문단에서는 [math(xy)]평면 위에 반지름의 길이가 [math(R)]인 원형 막이 있다고 생각해보자. 문제 특성 상 분석이 가장 용이한 3차원 원통 좌표계를 고려하고, 막의 끝은 모두 고정되어 있음에 따라
[math(displaystyle psi(rho=R)=0 )]
이 경계 조건으로 사용된다.
파동 함수의 공간 성분을 [math(rho)] 성분 [math(Rho(rho))], [math(phi)] 성분 [math(Phi(phi))]의 곱으로 변수 분리한다. 즉,
[math(displaystyle psi(rho,,phi)=Rho(rho) Phi(phi) )]
따라서 위의 파동 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle frac{Phi}{rho}frac{d}{d rho} left( rho frac{dRho}{d rho} right)+frac{Rho}{rho^{2}}frac{d^{2} Phi}{d phi^{2}}+k^{2}Rho Phi=0 )]
양변을 [math(Rho Phi)]로 나누고, [math(rho^{2})]을 곱하면,
[math(displaystyle frac{rho}{Rho}frac{d}{d rho} left( rho frac{dRho}{d rho} right)+k^{2} rho^{2}+ frac{1}{Phi}frac{d^{2} Phi}{d phi^{2}}=0 )]
이것을 정리하여 아래와 같이 쓰면,
[math(displaystyle frac{rho}{Rho}frac{d}{d rho} left( rho frac{dRho}{d rho} right)+k^{2} rho^{2}=- frac{1}{Phi}frac{d^{2} Phi}{d phi^{2}}=m^{2} )]
이 되고, [math(phi)] 성분에 대하여
[math(displaystyle - frac{1}{Phi}frac{d^{2} Phi}{d phi^{2}}=m^{2} )]
이므로 [math(phi sim e^{i m phi})]임을 얻을 수 있다. 여기서 [math(e^{i m phi}=e^{im (2 pi+phi )})]이어야 함을 고려하면, [math(m)]은 0을 포함한 자연수만 가능함을 알 수 있다. 한편, [math(rho)] 성분은
[math(displaystyle rho^{2} frac{d^2 Rho}{d rho^{2}}+rho frac{d Rho}{d rho}+(k^{2} rho^{2}-m^{2})Rho=0 )]
이고, 이 방정식은 베셀 방정식이다. 따라서 우리는 원형 막의 진동을 기술하는 파동 함수의 형태가
[math(displaystyle Psi=begin{Bmatrix} J_{m}(k rho)\Y_{m}(k rho) end{Bmatrix} begin{Bmatrix} sin{m phi}\cos{m phi} end{Bmatrix} e^{-i omega t} )]
임을 알 수 있다. [math(J_{m}(k rho))], [math(Y_{m}(k rho))]는 각각 베셀 함수, 노이먼 함수이다. 그러나 노이먼 함수는 [math( rho to 0)], [math(Y_{m}(k rho) to -infty)]인 특성이 있어 우리가 현재 다루고 있는 물리적인 상황과 꽤 먼 거리에 있는 함수이기 때문에 이를 제외해야 하고, [math(Psi(rho=R)=0)]임을 고려하면,
[math(displaystyle J_{m}(kR)=0 )]
이어야 한다. 따라서
[math(displaystyle kR equiv j_{m,n} )]
로 둘 수 있다. [math(j_{m,n})]은 [math(J_{m}(kr))]의 [math(n)]번째 영점이다. 이상에서 우리는 원형막을 기술하는 파동 함수가
[math(displaystyle Psi=sum_{mn} A_{mn} J_{m} left( frac{omega_{m,n}}{R v}rho right) sin{(m phi)} exp{left( -frac{i omega_{m,n}}{R} right)}+sum_{mn} B_{mn} J_{m} left( frac{omega_{m,n}}{R v}rho right) cos{(m phi)} exp{left( -frac{i omega_{m,n} t}{R} right)} )]
으로 주어진다는 것을 얻는다. 여기서 [math(omega_{m,n} equiv j_{m,n} v/R)]이다. 이에 직사각형 막과 마찬가지로 고유 진동 모드
[math(displaystyle begin{aligned} Psi_{mn}^{(1)} &=A_{mn} J_{m} left( frac{omega_{m,n}}{R v}rho right) sin{(m phi)} exp{left( -frac{i omega_{m,n} t}{R} right)} \ Psi_{mn}^{(2)} &=B_{mn} J_{m} left( frac{omega_{m,n}}{R v}rho right) cos{(m phi)} exp{left( -frac{i omega_{m,n} t}{R} right)} end{aligned}
의 합으로 주어진다는 것을 얻는다. 이때, 위에서 나왔듯 각 고유 진동 모드의 각진동수는
[math(displaystyle omega_{m,n} = frac{j_{m,n}v}{R}
이다.
이곳에서 원형 막의 고유 진동 모드 양상을 볼 수 있다.(다만, 가장 바깥쪽 흰색 원형 선까지의 영역만 유효하다.)
[math(displaystyle psi(rho=R)=0 )]
이 경계 조건으로 사용된다.
파동 함수의 공간 성분을 [math(rho)] 성분 [math(Rho(rho))], [math(phi)] 성분 [math(Phi(phi))]의 곱으로 변수 분리한다. 즉,
[math(displaystyle psi(rho,,phi)=Rho(rho) Phi(phi) )]
따라서 위의 파동 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle frac{Phi}{rho}frac{d}{d rho} left( rho frac{dRho}{d rho} right)+frac{Rho}{rho^{2}}frac{d^{2} Phi}{d phi^{2}}+k^{2}Rho Phi=0 )]
양변을 [math(Rho Phi)]로 나누고, [math(rho^{2})]을 곱하면,
[math(displaystyle frac{rho}{Rho}frac{d}{d rho} left( rho frac{dRho}{d rho} right)+k^{2} rho^{2}+ frac{1}{Phi}frac{d^{2} Phi}{d phi^{2}}=0 )]
이것을 정리하여 아래와 같이 쓰면,
[math(displaystyle frac{rho}{Rho}frac{d}{d rho} left( rho frac{dRho}{d rho} right)+k^{2} rho^{2}=- frac{1}{Phi}frac{d^{2} Phi}{d phi^{2}}=m^{2} )]
이 되고, [math(phi)] 성분에 대하여
[math(displaystyle - frac{1}{Phi}frac{d^{2} Phi}{d phi^{2}}=m^{2} )]
이므로 [math(phi sim e^{i m phi})]임을 얻을 수 있다. 여기서 [math(e^{i m phi}=e^{im (2 pi+phi )})]이어야 함을 고려하면, [math(m)]은 0을 포함한 자연수만 가능함을 알 수 있다. 한편, [math(rho)] 성분은
[math(displaystyle rho^{2} frac{d^2 Rho}{d rho^{2}}+rho frac{d Rho}{d rho}+(k^{2} rho^{2}-m^{2})Rho=0 )]
이고, 이 방정식은 베셀 방정식이다. 따라서 우리는 원형 막의 진동을 기술하는 파동 함수의 형태가
[math(displaystyle Psi=begin{Bmatrix} J_{m}(k rho)\Y_{m}(k rho) end{Bmatrix} begin{Bmatrix} sin{m phi}\cos{m phi} end{Bmatrix} e^{-i omega t} )]
임을 알 수 있다. [math(J_{m}(k rho))], [math(Y_{m}(k rho))]는 각각 베셀 함수, 노이먼 함수이다. 그러나 노이먼 함수는 [math( rho to 0)], [math(Y_{m}(k rho) to -infty)]인 특성이 있어 우리가 현재 다루고 있는 물리적인 상황과 꽤 먼 거리에 있는 함수이기 때문에 이를 제외해야 하고, [math(Psi(rho=R)=0)]임을 고려하면,
[math(displaystyle J_{m}(kR)=0 )]
이어야 한다. 따라서
[math(displaystyle kR equiv j_{m,n} )]
로 둘 수 있다. [math(j_{m,n})]은 [math(J_{m}(kr))]의 [math(n)]번째 영점이다. 이상에서 우리는 원형막을 기술하는 파동 함수가
[math(displaystyle Psi=sum_{mn} A_{mn} J_{m} left( frac{omega_{m,n}}{R v}rho right) sin{(m phi)} exp{left( -frac{i omega_{m,n}}{R} right)}+sum_{mn} B_{mn} J_{m} left( frac{omega_{m,n}}{R v}rho right) cos{(m phi)} exp{left( -frac{i omega_{m,n} t}{R} right)} )]
으로 주어진다는 것을 얻는다. 여기서 [math(omega_{m,n} equiv j_{m,n} v/R)]이다. 이에 직사각형 막과 마찬가지로 고유 진동 모드
[math(displaystyle begin{aligned} Psi_{mn}^{(1)} &=A_{mn} J_{m} left( frac{omega_{m,n}}{R v}rho right) sin{(m phi)} exp{left( -frac{i omega_{m,n} t}{R} right)} \ Psi_{mn}^{(2)} &=B_{mn} J_{m} left( frac{omega_{m,n}}{R v}rho right) cos{(m phi)} exp{left( -frac{i omega_{m,n} t}{R} right)} end{aligned}
)]
의 합으로 주어진다는 것을 얻는다. 이때, 위에서 나왔듯 각 고유 진동 모드의 각진동수는
[math(displaystyle omega_{m,n} = frac{j_{m,n}v}{R}
)]
이다.
이곳에서 원형 막의 고유 진동 모드 양상을 볼 수 있다.(다만, 가장 바깥쪽 흰색 원형 선까지의 영역만 유효하다.)
3. 기타
- 각종 수치해석 프로그램을 이용하면, 임의의 모양의 막의 고유 진동 모드를 구할 수 있다.
4. 관련 문서
[1] [math(k)