[include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Multipole Expansion · 多重極展開'''}}} 다중극 전개란 충분히 국소화된 상태로 분포하는 전하 밀도가 있을 때, 이 전하 밀도를 점전하와 쌍극자, 사중극자, 팔중극자 등으로 근사하여 퍼텐셜 함수를 전개하는 것을 의미한다. 쉽게 말하면, 어떤 공간상에 물체가 있고, 이 물체가 갖고있는 전자들의 복잡한 분포가 있을 것이다. 여기서 충분히 멀리 떨어져서 이 물질을 바라본다면 전하는 좁은 영역에 분포한다고 말할 수 있을 것이다. 이 때 멀리 떨어져 있다는 근사 조건을 활용하여 함수를 우리가 알기 쉬원 점전하나 쌍극자 등의 함수로 쓰자는 것이다. == 유도 == [[파일:나무_다중극 전개_new.png|width=270&align=center]] 위 그림과 같이 임의의 전하분포 [math( \displaystyle \rho(\mathbf{r'}) )]을 가정하자. 즉 [math( \mathbf{r'} )]의 위치에 분포하는 전하밀도를 [math( \mathbf{r} )]의 시점에서 관찰하고 있는 상황인 것이다. 그러면 잘 알다시피 [math(\mathbf{r})]에서 [[전기 퍼텐셜]]은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r-r'}|}\,dV' )] }}} 위와 같이 쓰여질 것이다. [math(V)]는 전하가 있는 영역이고, 위 그림에선 음영 영역이 될 것이다. 이제 위의 [[전기 퍼텐셜]]을 다중극 전개한다고 생각하자. 다중극 전개는 전하분포의 위치로부터 충분히 멀리 떨어진 시점에서 관찰한다는 가정을 기억하자. 즉, [math(r' \ll r)]이다. === 구면 좌표계에서의 전개 === 구면좌표계에서 다음과 같은 전개식[* 이 전개식이 왜 쓰여지는지 좀더 엄밀한 설명이 필요하다면 Arfken 수준 이상의 [[수리물리학]] 교재를 볼 것을 권한다.]이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) ={1\over 4\pi \varepsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} {4\pi \over 2l+1} q_{l}^{m} {Y_{l}^m(\theta, \, \phi)\over r^{l+1}} )] }}} [math(Y_{l}^{m})]은 [[구면 조화 함수]](Spherical harmonics)이다. 전개식의 유도는 다음과 같다. [math(r' \ll r)]인 영역을 다루고 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {1\over |\mathbf{r-r'}|} = \sum_{l=0}^{\infty} {r_{<}^l \over r_{>}^{l+1}}P_{l}(\cos{\gamma}) )] }}} 이고, 여기서 [math(\gamma)]는 [math(\mathbf{r,\,r'})] 사이의 각이며, [math(\min(r,\,r') \equiv r_{<})], [math(\max(r,\,r') \equiv r_{>})]이다. 여기에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle P_{l}(\cos{\gamma}) = {4\pi\over 2l+1} \sum_{m=-l}^{l} Y_l^{m*}(\theta',\,\phi')Y_l^m(\theta,\,\phi) )] }}} 를 가함으로 위의 다중극 전개가 얻어진다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle q_{l}^{m} = \iiint_V Y_{l}^{m*}(\theta',\,\phi')(r')^l\rho(\mathbf{r'})\, dV' )] }}} 임을 얻는다. === 직교 좌표계에서의 전개 === 직교좌표계에서는 잘 아는 [[테일러 전개]]를 이용해 보도록 하자. 잘 알다시피, 다변수 함수에 대하여 테일러 전개는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{|\mathbf{r-r'}| } &=\frac{1}{[(\mathbf{r-r'})\cdot(\mathbf{r-r'}) ]^{1/2}} \\ &=\frac{1}{[r^{2}-2 \mathbf{r \cdot r'}+{r'}^{2}]^{1/2}} \\ &=\frac{1}{r} \left[ 1-\frac{2 \mathbf{r \cdot r'}+{r'}^{2}}{r^{2}} \right ]^{-1/2} \\ &=\frac{1}{r} \left[ 1-\frac{1}{2} \frac{{r'}^{2}-2\mathbf{r \cdot r'}}{r^{2}}+\frac{3}{8} \left(\frac{{r'}^{2}-2\mathbf{r \cdot r'}}{r^{2}} \right )^{2}+\cdots \right] \end{aligned} )] }}} 아래와 같은 정의 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{p}(\mathbf{r'})\equiv \iiint_{V} \mathbf{r'}\rho(\mathbf{r'})\,dV' \qquad \qquad Q_{ij} \equiv \iiint_{V} (3r'_{i}r'_{j}-\delta_{ij}{r'}^{2}) \rho(\mathbf{r'})\,dV' )] }}} 로 두면 최종적으로 [[전기 퍼텐셜]]은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[ \frac{Q_{\mathrm{tot} }}{r}+\frac{\mathbf{p \cdot r}}{r^{3}}+\frac{1}{2}\sum_{ij}Q_{ij}\frac{r_{i}r_{j}}{r^{5}} + \cdots \right ] )] }}} 로, 쓸 수 있다. 위에서 [math(Q_{\mathrm{tot}})]는 전하 분포 [math(V)]의 총 전하이며, 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle Q_{\mathrm{tot}} \equiv \iiint_{V} \rho(\mathbf{r'}) \, dV' )] }}} 위의 논의로 [[전기 퍼텐셜]]을 홀극(Monopole; 첫째항), 쌍극자(Dipole; 둘째항)와 사중극자(Quadrupole; 셋째항) 및 더 높은 항들로 전개된다는 것을 알 수 있다. == 기타 == * 보통 학부 과정에서는 쌍극자 정도까지만 근사하고, 사중극자나 팔중극자까지 근사하여 사용하는 경우는 거의 없다. 다행이라고 한다면 사중극자로 나아간다고 갑자기 내용이 기상천외해지진 않고 기본적 식의 형식은 위의 쌍극자 전개와 유사하다... 변수가 끔찍하게 많아질 뿐. == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[전기 퍼텐셜]] * [[전기 쌍극자 모멘트]] [[분류:물리학]][[분류:전자기학]]