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1. 개요
고등학교 수학에서 항등식의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 나눗셈 정리가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. 나눗셈 정리를 간단하게 설명하자면, 자연수 [math(b)]를 [math(a)]로 나누었을 때 ([math(bgeq a)]), [math(b=aq+r)]([math(0leq r<a)])를 만족하는 정수 [math(q,r)]이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 다항식에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다.
정식 [math(Bleft(xright))]를 정식 [math(Aleft(xright))]로 나누었을 때 ([math(deg Bleft(xright)geqdeg Aleft(xright))]), [math(Bleft(xright)=Aleft(xright)Qleft(xright)+Rleft(xright),,left(0leqdeg Rleft(xright)<deg Aleft(xright)right))]를 만족시키는 정식 [math(Qleft(xright),Rleft(xright))]가 유일하게 존재한다. 이 때, [math(Qleft(xright))]를 몫, [math(Rleft(xright))]를 나머지라고 한다
나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다.
2. 나머지 정리
[math(x)]에 대한 다항식 [math(fleft(xright))]를 일차식 [math(x-a)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(fleft(aright))]이다.
위 정리는 일반적인 일차식 [math(ax+b)]에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다.
[math(x)]에 대한 다항식 [math(fleft(xright))]를 일차식 [math(ax+b)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(fleft(-frac{b}{a}right))]이다.
3. 활용
4. 관련 항목
[1] 이를 인수정리(factor theorem) 이라고 부른다.