[include(틀:대수학)] [목차] Polynomial Remainder Theorem == 개요 == 고등학교 수학에서 [[항등식]]의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 [[나눗셈 정리]]가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. [[나눗셈 정리]]를 간단하게 설명하자면, [[자연수]] [math(b)]를 [math(a)]로 나누었을 때 ([math(b\geq a)]), [math(b=aq+r)]([math(0\leq r<a)])를 만족하는 [[정수]] [math(q,r)]이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 [[다항식]]에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다. >정식 [math(B\left(x\right))]를 정식 [math(A\left(x\right))]로 나누었을 때 ([math(\deg B\left(x\right)\geq\deg A\left(x\right))]), [math(B\left(x\right)=A\left(x\right)Q\left(x\right)+R\left(x\right),\,\left(0\leq\deg R\left(x\right)<\deg A\left(x\right)\right))]를 만족시키는 정식 [math(Q\left(x\right),R\left(x\right))]가 유일하게 존재한다. 이 때, [math(Q\left(x\right))]를 몫, [math(R\left(x\right))]를 나머지라고 한다 나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다. == 나머지 정리 == >[math(x)]에 대한 다항식 [math(f\left(x\right))]를 일차식 [math(x-a)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(f\left(a\right))]이다. 위 정리는 일반적인 일차식 [math(ax+b)]에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다. >[math(x)]에 대한 다항식 [math(f\left(x\right))]를 일차식 [math(ax+b)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(f\left(-\frac{b}{a}\right))]이다. == 활용 == 나머지 정리는 고차식의 [[인수분해]]를 하는 데 쓸 수 있다. 만약 어떤 수 [math(a)]를 대입했는데 값이 0이라면, 원 다항식 [math(f\left(x\right))]는 [math(x-a)]를 인수로 가진다.[* 이를 인수정리(factor theorem) 이라고 부른다.] 이 과정을 빠르게 할 수 있는 것이 바로 [[조립제법]]이며, 조립제법에 대한 더 자세한 내용은 항목 참조. == 관련 항목 == * [[나눗셈 정리]] * [[인수분해]] [[분류:대수학]]