[include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == {{{+1 difference sequence(progression) ・ [[階]][[差]][[數]][[列]]}}} [[수열]]의 인접한 두 항에 대하여, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값을 '''계차'''(difference, [[階]][[差]])라고 하는데, 원래 수열의 계차들을 항으로 하는 수열을 원래 수열의 '''계차수열'''이라고 한다. 따라서 계차수열은 그 자체로 성립하지 않고 별도로 원래 수열의 존재를 전제해야만 성립하는 개념이다. 원래 수열의 계차수열의 계차수열을 원래 수열의 '''제2계 계차수열'''이라 하고, 제[math(m)]계 계차수열의 계차수열을 제[math((m+1))]계 계차수열이라 한다. == 상세 == 수열 [math(\{a_n\})]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(b_n=a_{n+1}-a_n)]}}} 이면 [math(b_n)]은 계차이고, [math(\{b_n\})]은 [math(\{a_n\})]의 계차수열이다. 여기에서 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}\cancel{a_2}-a_1&=b_1\\\cancel{a_3}-\cancel{a_2}&=b_2\\& \;\;\vdots\\\cancel{a_{n-1}}-\cancel{a_{n-2}}&=b_{n-2}\\+\qquad a_n-\cancel{a_{n-1}}&=b_{n-1}\\ \hline a_n-a_1&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\ \\ \therefore a_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k+a_1\;(n\geq 2)\end{aligned})]}}} 따라서 계차수열의 [[일반항]]을 안다면 원래 수열의 일반항 역시 알 수 있다. 계차수열의 일반항을 모른다면 제2계 계차수열 [math(\{c_n\})]의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다. 이 경우 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{aligned}b_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}c_k+b_1\;(k\geq 2)\\\therefore a_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k+a_1\\&=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sum_{j=1}^{k-1}c_j+b_1\right)+a_1\;(k,\,n\geq 2)\end{aligned})]}}} 제3계, 제4계 계차수열에 대해서도 같은 방식을 얼마든지 적용할 수 있다. 따라서 제[math(m)]계 계차수열의 일반항을 모른다면 제[math((m+1))]계 계차수열의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다. == 성질 == 수열 [math(\{a_n\})]의 일반항이 [math(r)]차 [[다항식]] {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(a_n=c_rn^r+c_{r-1}n^{r-1}+\cdots+c_1n+c_0\;(r\neq 0))]}}} 이면 [math(\{a_n\})]의 계차수열 [math(\{b_n\})]의 일반항은 ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}b_n&=a_{n+1}-a_n\\&=\{c_r(n+1)^r+c_{r-1}(n+1)^{r-1}+\cdots+c_1(n+1)+c_0\} \\ &\qquad \qquad -(c_rn^r+c_{r-1}n^{r-1}+\cdots+c_1n+c_0)\\&=(\cancel{c_rn^r}+c_rrn^{r-1}+\cdots)-(\cancel{c_rn^r}+\cdots)\end{aligned})] || 이와 같이 최고차항이 상쇄되므로 [math((r-1))]차 이하의 다항식이 된다. (정확하게는 원래 다항식의 [[차분(연산자)|차분]]이 된다) 마찬가지로 계차수열을 구하는 과정을 반복하면 결국에는 일반항이 일차식인 [[등차수열]]이 나오며, 그 다음에는 모든 항이 그 등차수열의 공차인, 다시 말해 수열의 일반항이 상수인 수열이 나온다. 한번 항의 값이 일정한 수열이 나왔으므로 이후에는 계속해서 모든 항이 0인 수열만 나오는데, 다음 예를 통해 직관적으로 확인해 보자. ||<tablealign=center><table bgcolor=#ffffff,#000000><rowbgcolor=#efefef,#555555> '''수열''' || '''항''' || '''일반항''' || '''비고''' || || 원래 수열 || [math(3,\,17,\,55,\,129,\,251,\,433,\,\cdots)] || [math(2n^3+1)] || 삼차식 || || 계차수열 || [math(14,\,38,\,74,\,122,\,182,\,\cdots)] || [math(6n^2+6n+2)] || 이차식 || || 제2계 계차수열 || [math(24,\,36,\,48,\,60,\,\cdots)] || [math(12n+12)] || 일차식([[등차수열]]) || || 제3계 계차수열 || [math(12,\,12,\,12,\,\cdots)] || [math(12)] || 상수식(일반항이 공차) || || 제4계 계차수열 || [math(0,\,0,\,\cdots)] || [math(0)] || 상수식(일반항이 0) || || 제5계 계차수열 || [math(0,\,0,\,\cdots)] || [math(0)] || 상수식(일반항이 0) || || [math(\vdots)] || [math(\vdots)] || [math(\vdots)] || [math(\vdots)] || == 계차수열로 원래 수열의 합 구하기 == [include(틀:토론 합의, this=문단, 토론주소1=LudicrousAxiomaticRebelliousGoose, 합의사항1='합의 기호를 이용하여 나타내면 아래와 같다.'라는 표현을 ∴로 대치하지 않고 존치하기)] 어떤 수열 [math(\{a_n\})]과 그의 계차수열 [math(\{b_n\})]에 대하여, 앞서 밝혔듯이 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k\;(n\geq 2))]}}} 이므로 다음이 성립한다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{matrix}&a_1&\!\!\!=\!\!\!&a_1\\&a_2&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\\&a_3&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\!+\!\!&\!\!b_2\!\!\\\;&\vdots&&\!\!\vdots&&\vdots&&\vdots\\&a_{n-1}&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\!+\!\!&\!\!b_2\!\!&\!\!+\!\!&\cdots&\!\!+\!\!&b_{n-2}\\\!\!+&a_n&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\!+\!\!&\!\!b_2\!\!&\!\!+\!\!&\cdots&\!\!+\!\!&b_{n-2}&\!\!+\!\!&b_{n-1}\\\hline&\displaystyle\sum_{k=1}^na_k&\!\!\!=\!\!\!&na_1&\!\!+\!\!&\!\!(n-1)b_1\!\!&\!\!+\!\!&\!\!(n-2)b_2\!\!&\!\!+\!\!&\cdots&\!\!+\!\!&2b_{n-2}&\!\!+\!\!&b_{n-1}\end{matrix})] || 결과를 [[수열#s-2.4|합의 기호]]를 이용하여 나타내면 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=na_1+\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)b_k\;(n\geq 2))]}}} 혹은 다음과 같이 해석할 수도 있다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{matrix}&{\color{dodgerblue}a_1}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&&\!\!\!{\color{red}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}\!\!&{\color{red}\cdots}&\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!{\color{red}b_{n-1}}\\&{\color{dodgerblue}a_2}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&&\!\!\!\!{\color{red}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}\!\!&{\color{red}\cdots}&\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!{\color{red}b_{n-1}}\\&{\color{dodgerblue}a_3}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_2}&&{\color{red}\cdots}&\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!{\color{red}b_{n-1}}\\\;&{\color{dodgerblue}\vdots}&&\!{\color{dodgerblue}\vdots}&&\!\!\!{\color{dodgerblue}\vdots}&&\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}\vdots}&&\vdots&&\!\!{\color{red}\vdots}&&{\color{red}\vdots}\\&{\color{dodgerblue}a_{n-1}}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&{\color{dodgerblue}\cdots}&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_{n-2}}&&\!{\color{red}b_{n-1}}\\\!\!+\!\!\;&{\color{dodgerblue}a_n}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&{\color{dodgerblue}\cdots}&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!{\color{dodgerblue}b_{n-1}}\\\hline&{\color{dodgerblue}\displaystyle\sum_{k=1}^na_k}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!na_n\!\!\!\!&\!\!-\!\!&\!\!\!{\color{red}\{b_1}&\!\!\!\!\!{\color{red}+}&\!\!\!\!{\color{red}2b_2}&\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}&{\color{red}\cdots}&{\color{red}+}&\!{\color{red}(n-2)b_2}&\!{\color{red}+}&\!{\color{red}(n-1)b_1\}}\end{matrix})] || 위 식의 결과를 합의 기호로 나타내면 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math({\color{dodgerblue}\displaystyle\sum_{k=1}^na_k}=na_n-{\color{red}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}kb_k}\;(n\geq 2))]}}} 어떤 방식으로 공식을 유도하든 값은 같다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{aligned}na_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)b_k&=na_1+n\sum_{k=1}^{n-1}b_k-\sum_{k=1}^{n-1}kb_k\\&=na_1+n(a_n-a_1)-\sum_{k=1}^{n-1}kb_k \\&=na_n-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}kb_k\end{aligned})]}}} == 교육과정 == * [[대한민국]]: 계차수열은 본디 [[2007 개정 교육과정]]의 [[수학Ⅰ]]에서 고2~고3 때 인문·자연 공통으로 학습하던 내용이었으나, [[2009 개정 교육과정]]에서 삭제된 이래로 교육과정에 등장하지 않고 있다. [[분류:수열]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]