1. 개요
아래와 같이, 두 비가 같을 때, 분자와 분모를 따로 더하여 얻은 비도 처음의 두 비와 같다는 법칙으로, 일종의 항등식이다.
[math({dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}=dfrac{a+c}{b+d}} ; (bneq 0,;dneq 0,; b+dneq 0))]
이것이 성립하는 이상 셋 이상의 비에서도 가비의 이는 얼마든지 성립하며, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(displaystyle dfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}=dfrac{{rm tr}({sf I}otimes{bold b})}{{rm tr}({sf I}otimes{bold a})}=dfrac{displaystyle sum_{k=1}^{n} b_{k}}{displaystyle sum_{k=1}^{n} a_{k}} \ ; left(a_{k} neq 0,,b_{k} neq 0 ,, {rm tr}({sf I}otimes{bold a})neq 0 ,, sum_{k=1}^{n} a_{k} neq 0 right) )]
[math(rm tr)]은 주대각합, [math(otimes)]는 텐서곱, [math(sf I)]는 단위행렬이다. [math({bold a},,{bold b})]는 각각 [math(,a_1cdots a_{n},,b_1cdots b_{n})]를 벡터로 표현한 것이다.
[math({dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}=dfrac{a+c}{b+d}} ; (bneq 0,;dneq 0,; b+dneq 0))]
이것이 성립하는 이상 셋 이상의 비에서도 가비의 이는 얼마든지 성립하며, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(displaystyle dfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}=dfrac{{rm tr}({sf I}otimes{bold b})}{{rm tr}({sf I}otimes{bold a})}=dfrac{displaystyle sum_{k=1}^{n} b_{k}}{displaystyle sum_{k=1}^{n} a_{k}} \ ; left(a_{k} neq 0,,b_{k} neq 0 ,, {rm tr}({sf I}otimes{bold a})neq 0 ,, sum_{k=1}^{n} a_{k} neq 0 right) )]
[math(rm tr)]은 주대각합, [math(otimes)]는 텐서곱, [math(sf I)]는 단위행렬이다. [math({bold a},,{bold b})]는 각각 [math(,a_1cdots a_{n},,b_1cdots b_{n})]를 벡터로 표현한 것이다.
2. 증명
[math(dfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K)]
라 하면, [math(b_{k}=Ka_{k})]이므로
[math( frac{displaystyle sum_{k=1}^{n} b_{k} }{displaystyle sum_{k=1}^{n} a_{k} }=frac{displaystyle K sum_{k=1}^{n} a_{k} }{displaystyle sum_{k=1}^{n} a_{k} }=K )]
[math(thereforedfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}=dfrac{displaystyle sum_{k=1}^{n} b_{k}}{displaystyle sum_{k=1}^{n} a_{k}} )]
한편 수열의 합 [math(displaystylesum_{k=1}^{n} a_{k})]은 선형 변환을 통해
[math(displaystylesum_{k=1}^{n} a_{k} = {rm tr} begin{bmatrix} a_{1} & 0 & cdots & 0 \ 0 & a_{2} & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & a_{n} end{bmatrix} = {rm tr}({sf I}otimes{bold a}))]
로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과도 동치가 된다:
[math(dfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}=dfrac{{rm tr}({sf I}otimes{bold b})}{{rm tr}({sf I}otimes{bold a})})]
3. 심화
나아가, 더욱 일반적인 차원에서 다음도 가비의 이라고 한다.
[math({dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}=dfrac{xa+yc}{xb+yd}} ; (bneq 0,;dneq 0,; xb+ydneq 0) )]
새로운 변수를 얼마든지 추가해도 가비의 이는 성립하는데, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(displaystyle dfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}= frac{{rm tr}({overlinebold x} otimes {bold b})}{{rm tr}({overlinebold x} otimes {bold a})} = dfrac{displaystyle sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{displaystyle sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} \ left(a_{k} neq 0,,b_{k} neq 0 ,, {rm tr}({overlinebold x} otimes {bold a}) neq 0 ,, sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} neq 0 right) )]
[math(rm tr)]은 주대각합, [math(otimes)]는 텐서곱이다. [math({bold x},,{bold a},,{bold b})]는 각각 [math(x_1cdots x_{n},,a_1cdots a_{n},,b_1cdots b_{n})]를 벡터로 표현한 것이다. [math({overlinebold x})]은 [math({bold x})]의 켤레이다.
[math({dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}=dfrac{xa+yc}{xb+yd}} ; (bneq 0,;dneq 0,; xb+ydneq 0) )]
새로운 변수를 얼마든지 추가해도 가비의 이는 성립하는데, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(displaystyle dfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}= frac{{rm tr}({overlinebold x} otimes {bold b})}{{rm tr}({overlinebold x} otimes {bold a})} = dfrac{displaystyle sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{displaystyle sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} \ left(a_{k} neq 0,,b_{k} neq 0 ,, {rm tr}({overlinebold x} otimes {bold a}) neq 0 ,, sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} neq 0 right) )]
[math(rm tr)]은 주대각합, [math(otimes)]는 텐서곱이다. [math({bold x},,{bold a},,{bold b})]는 각각 [math(x_1cdots x_{n},,a_1cdots a_{n},,b_1cdots b_{n})]를 벡터로 표현한 것이다. [math({overlinebold x})]은 [math({bold x})]의 켤레이다.
3.1. 증명
[math(dfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K)]
라 하면, [math(a_{k}=Kb_{k})]이므로
[math( frac{displaystyle sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k} }{displaystyle sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=frac{displaystyle K sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }{displaystyle sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=K )]
[math(thereforedfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}=dfrac{displaystyle sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{displaystyle sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} )]
위 문단과 마찬가지로 수열의 합 [math(displaystylesum_{k=1}^{n} x_k a_{k})]은 선형 변환을 통해
[math(displaystylebegin{aligned} sum_{k=1}^{n} x_k a_{k} &= {rm tr} begin{bmatrix} x_1 a_{1} & x_2 a_{1} & cdots & x_n a_{1} \ x_1 a_{2} & x_2 a_{2} & cdots & x_n a_{2} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ x_1 a_{n} & x_2 a_{n} & cdots & x_n a_{n} end{bmatrix} \ &= {rm tr}({overlinebold x}otimes{bold a})end{aligned})]
로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과 동치가 된다:
[math(dfrac{b_{1}}{a_{1}}=dfrac{b_{2}}{a_{2}}= cdots =dfrac{b_{n}}{a_{n}}=dfrac{{rm tr}({overlinebold x}otimes{bold b})}{{rm tr}({overlinebold x}otimes{bold a})})]
4. 활용
수학 정리를 증명할 때 가비의 이를 활용할 수 있다.
4.1. 피타고라스 정리
파일:나무_가비의리_피타고라스.png
각 [math(rm C)]를 직각으로 하는 삼각형 [math(rm ABC)]가 있다. 점 [math(rm C)]에서 빗변 [math(rm AB)]에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라고 하면 직각삼각형 [math(rm ABC)], [math(rm ACH)], [math(rm CBH)]는 각각 닮음이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 빗변의 제곱에 비례하므로
[math(dfrac{overline {rm AB}^2}{trianglerm ABC}=dfrac{overline {rm AC}^2}{trianglerm ACH}=dfrac{overline {rm BC}^2}{trianglerm CBH})]
가비의 이를 적용하면
[math(dfrac{overline{rm AB}^2}{trianglerm ABC}=dfrac{overline {rm AC}^2+overline {rm BC}^2}{trianglerm ACH+trianglerm CBH})]
한편,
[math(trianglerm ACH+trianglerm CBH=trianglerm ABC)]
각 [math(rm C)]를 직각으로 하는 삼각형 [math(rm ABC)]가 있다. 점 [math(rm C)]에서 빗변 [math(rm AB)]에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라고 하면 직각삼각형 [math(rm ABC)], [math(rm ACH)], [math(rm CBH)]는 각각 닮음이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 빗변의 제곱에 비례하므로
[math(dfrac{overline {rm AB}^2}{trianglerm ABC}=dfrac{overline {rm AC}^2}{trianglerm ACH}=dfrac{overline {rm BC}^2}{trianglerm CBH})]
가비의 이를 적용하면
[math(dfrac{overline{rm AB}^2}{trianglerm ABC}=dfrac{overline {rm AC}^2+overline {rm BC}^2}{trianglerm ACH+trianglerm CBH})]
한편,
[math(trianglerm ACH+trianglerm CBH=trianglerm ABC)]
[math(thereforeoverline{rm AB}^2=overline{rm AC}^2+overline{rm BC}^2)]
5. 예제
[문제]
세 상수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여
[math(dfrac{a}{3a-b-c}=dfrac{b}{3b-c-a}=dfrac{c}{3c-a-b}=k)] 를 만족시키는 [math(k)]의 값을 구하시오. (단, [math(3a-b-cneq 0)], [math(3b-c-aneq 0)], [math(3c-a-bneq 0)]이다.) |
[풀이 보기]
[1] [math(boldsymbol{a+b+c neq 0})]일 때
가비의 이에 의하여
[math(begin{aligned} dfrac{a}{3a-b-c}&=dfrac{b}{3b-c-a} \&=dfrac{c}{3c-a-b} \&=dfrac{a+b+c}{(3a-b-c)+(3b-c-a)+(3c-a-b)} \& =dfrac{a+b+c}{a+b+c} \&=1 end{aligned})]
[2] [math(boldsymbol{a+b+c = 0})]일 때
가비의 이를 사용하지 못하므로 [math(a+b+c=0)] 자체를 단서로 활용한다.
[math(begin{aligned} dfrac{a}{3a-b-c}&=dfrac{a}{3a+a}=frac{1}{4} \ dfrac{b}{3b-c-a}&=dfrac{b}{3b+b}=frac{1}{4} \ dfrac{c}{3c-a-b}&=dfrac{c}{3c+c}=frac{1}{4} \ \ therefore dfrac{a}{3a-b-c}&=dfrac{b}{3b-c-a}=dfrac{c}{3c-a-b}=dfrac{1}{4} end{aligned})]
가비의 이는 분모가 0이 되지 않는 한에서 성립함을 상기해야 두 가지 경우에 대한 [math(k)]의 값을 완벽히 찾아낼 수 있다.
6. 언어별 명칭
- 한국어: 가비의 이(리), 합비의 이(리)
- 영어: componendo
- 일본어: [ruby(加比, ruby=かひ)]の[ruby(理, ruby=り)], [ruby(合比, ruby=ごうひ)]の[ruby(理, ruby=り)]
- 중국어: 合比定理(hé bǐ dìng lǐ)
일본에서 [ruby(加比, ruby=かひ)]の[ruby(理, ruby=り)]로 칭하는 것을 한국에서 그대로 받아들였다. 비(比)를 더하는(加) 법칙(理)이라는 뜻으로, 일본식 용어를 한국에서 그대로 받아들인 수많은 예 중 하나. 사실 '가비의 리'로 더 널리 알려져 있으나, 두음 법칙을 생각하면 '가비의 이'가 한글 맞춤법에 부합한다.[1] 그러나 수학 용어로 "가비의 리" 자체가 상당히 굳어졌으며 '서울에서 인천까지 몇 리냐?', '그럴 리가 없다' 등 두음 법칙이 적용되지 않는 사례도 있기 때문에, '가비의 리'는 옳지 않고 '가비의 이'만 옳다고 해서는 안 된다는 주장도 있다.
합비(合比)의 이(리)라고도 하지만 잘 쓰지 않는다. 한편, 중국에서는 '합비정리(合比定理)'라고 한다.
이 비직관적인 이름 때문에 오해가 생기는 일도 더러 있는데, '이'부터 전혀 다른 의미의 수학 용어가 있고[2] 가비도 사람 이름[3] 같아서 "가비라는 사람이 만든 술어 부정 정리인갑다" 하고 잘못 받아들일 수 있다는 것.
'가비의 리'를 잘못 듣고 '가리의 비'로 착각하는 경우도 많다. "이치"라는 뜻의 "리(理)"보다 수학 용어 "비(比)"에 익숙하고, 이것이 '가리(칼륨)[4]의 비율'이라는 뜻으로 오해하기도 쉽고, 또 가리비라는 유사한 이름의 조개가 있기 때문으로 보인다.
자주 사용하는 용어로 바꾸어 이르자면 '유리식의 덧셈법칙' 같은 이름이 될 것이다.
7. 기타
- 가비의 이는 고1 때 배운다.