피타고라스 정리는 직각삼각형의 빗변의 제곱이 밑변의 제곱과 높이의 제곱의 합과 같다는 것이다. 즉 밑변을 $a$, 높이를 $b$, 빗변을 $c$라고 놓으면 $a^2+b^2=c^2$이라는 부정방정식[1]이 된다. 여기서 $a, b, c$의 해를 자연수로 한정한다.[2] 이제 가능한 해들을 나열해 보면

$\{3,4,5\}$
$\{6,8,10\}$
$\{5,12,13\}$
$\{9,12,15\}$
$\{8,15,17\}$

등이 있다. 이러한 목록들을 피타고라스 세 쌍(Pythagorean triple)이라고 부른다. 여기서 $\{6,8,10\}$같은 경우 해들이 2를 공약수로 가지는데 공약수를 1만 가지는 경우만 생각하자. 이런 경우를 만족하는 해를 원시 피타고라스 세 쌍(Primitive Pythagorean triple)이라고 부른다.

흔히 '피타고라스 수'라고 곧잘 불리는데, 사실 이것은 '수'도 아니고 수 1개만으로는 의미를 갖지도 않는다.[3][4]

원시 피타고라스 세 쌍 $a,b, c$에서 $\displaystyle (a, b, c)= \left (st, \dfrac{s^2-t^2}{2}, \dfrac{s^2+t^2}{2} \right)$의 형태로 나타낼 수 있음이 알려져 있다. (단, $s$, $t$는 서로소인 홀수이며, $s>t$)

한편 원시 피타고라스 세 쌍에서 가장 큰 값인 $c$는, 두 제곱수의 합 정리와 연관지어 생각할 수 있다.

편의상[5] 집합의 기호는 피타고라스의 이름 앞글자에서 따온 $\pi$의 변형자인 $\varpi$[6]로 한다.

피타고라스 세 쌍은 무한집합이며 여기서는 앞 10항까지의 원소 집합을 나열한다. 이 10항 중 $\varpi_3, \varpi_6$을 제외한 원소는 원시 피타고라스 세 쌍이다.

$\quad \quad \quad \quad \vdots$

한편 피타고라스 세 쌍은 환이 되지 못하는데, 가령 원소 집합 두 개만 취해서[7] 곱집합을 만들면 피타고라스 세 쌍이 되지 못한다.

1. 실수 부분과 허수부분이 모두 정수인 $a+ bi$를 정한다.
2. 복소수 $z=x + yi=(a+ bi)^2$에 대해서 $|z|$를 구한다. (단, $x$, $y$는 실수)
3. $\{|x|,|y|,|z|\}$는 피타고라스 세 쌍이다.

이 때 $xyz=0$이더라도 만족은 하지만 이때 세 쌍이 자연수로만 이루어질 수 없으므로 이 경우를 제외한다.

예를 들면 다음과 같다.
$2+5i$에 대해서 $z=-21 +20i$, $|z|^2=841$이므로 $|z|=29$
따라서 $\{20,21,29\}$는 피타고라스 세 쌍이다.

위 경우에는 원시 피타고라스 세 쌍을 찾았지만 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어, $3+i$로 $\{6, 8,10\}$을 찾을 수 있다.

자연수 집합을 둘로 분할해서 각 분할이 피타고라스 세 쌍을 부분집합으로 가지지 못하게 만들수 있을까라는 100달러짜리 문제가 있었고 7825에서부터 안된다는 것이 밝혀졌는데 4색정리마냥 컴퓨터를 동원해 푼 결과였고 그 결과 나온 증명은 무려 200TB에 달한다.

피타고라스 세 쌍으로 만든 모든 삼각형은 특수각이 나오지 않는다. 특수각의 정의에 무리수가 들어가기 때문이다. 이 경우 각도기로 직접 측정해서 어림값을 구하든가, 혹은 역삼각함수에다 넣고 계산 노가다를 해야 한다.