Fermat's theorem on sums of two squares · Fermat의 두 제곱數 定理(素數 定理)

프랑스의 수학자 피에르 드 페르마가 남기고 간 문제. 페르마가 죽은 지 거의 100년 만에 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 7년 간의 연구를 거쳐 1749년에 결국 증명에 성공했다.

페르마의 소수 정리라고도 하며, 아드리앵 마리 르장드르가 제시한 소수 정리와는 다른 정리이다.[1]

2를 제외한 모든 소수(素數)는 홀수이므로 임의의 자연수 $n$에 대하여 $4n+1$ 또는 $4n-1$의 꼴로 나타낼 수 있는데, 전자는 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있지만 후자는 그럴 수 없다는 내용이다. 예를 들어 $13$은 $4·3+1$의 꼴로 나타낼 수 있으며, $3^2+2^2$로도 나타낼 수 있다. 그러나 $19$는 $4·5-1$의 꼴로 나타낼 수 있으며, 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다.

증명 방법은 여럿이 있는데, 오일러가 증명한 방식은 첫 증명이기도 하고 무한강하법을 이용한 방식이라 증명이 상당히 길고 복잡하다.

투에 보조정리(Thue's lemma)를 사용하는 방법이 있는데, 이건, 비둘기집의 원리의 수론적 재해석으로 나오는 보조정리를 이용한 방식이다.

데데킨트는 1877년에 가우스 정수(Guassian Integer) $\mathbb{Z}[i]$를 바탕으로 하는 두 가지 증명법을 발표한다. 현대대수학 과목의 환론과 체론에 대한 고급 이론에서 가우스 정수에 대해 배우면서 데데킨트의 증명을 소개하기도 한다.