[[분류:증명된 추론]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:정수론)] [목차] == 개요 == {{{+1 Fermat's theorem on sums of two squares · Fermat의 두 제곱[[數]] [[定]][[理]]([[素]][[數]] [[定]][[理]]) }}} [[프랑스]]의 수학자 [[피에르 드 페르마]]가 남기고 간 문제. 페르마가 죽은 지 거의 100년 만에 [[스위스]]의 수학자 [[레온하르트 오일러]]가 7년 간의 연구를 거쳐 1749년에 결국 증명에 성공했다. '''페르마의 소수 정리'''라고도 하며, [[아드리앵 마리 르장드르]]가 제시한 [[소수 정리]]와는 다른 정리이다.[* 덧붙이자면 르장드르가 제시한 것은 [[해석적 정수론]] 계열임에 반해, 본문에서 설명하고 있는 것은 [[대수적 정수론]]에 가깝다.] == 상세 == 2를 제외한 모든 [[소수(수론)|소수]](素數)는 [[홀수]]이므로 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(4n+1)] 또는 [math(4n-1)]의 꼴로 나타낼 수 있는데, 전자는 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있지만 후자는 그럴 수 없다는 내용이다. 예를 들어 [math(13)]은 [math(4·3+1)]의 꼴로 나타낼 수 있으며, [math(3^2+2^2)]로도 나타낼 수 있다. 그러나 [math(19)]는 [math(4·5-1)]의 꼴로 나타낼 수 있으며, 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. == 증명 == 증명 방법은 여럿이 있는데, 오일러가 증명한 방식은 첫 증명이기도 하고 무한강하법을 이용한 방식이라 증명이 상당히 길고 복잡하다. 투에 보조정리(Thue's lemma)를 사용하는 방법이 있는데, 이건, [[비둘기집의 원리]]의 수론적 재해석으로 나오는 보조정리를 이용한 방식이다. [[데데킨트]]는 1877년에 가우스 정수(Guassian Integer) [math(\mathbb{Z}[i])]를 바탕으로 하는 두 가지 증명법을 발표한다. 현대대수학 과목의 환론과 체론에 대한 고급 이론에서 가우스 정수에 대해 배우면서 데데킨트의 증명을 소개하기도 한다.