퍼스(Peirce)의 항진명제는, 다음과 같은 항진인 명제이다.

기호논리학의 선구자 중 한 명인 찰스 샌더스 퍼스의 이름을 따서 만들어졌다.[1]

이게 항진이라는 것을, 다음과 같이 증명할 수 있다.

항진명제를 증명함에 있어서 중요한 것은, 이 명제가 어떤 경우에서라도 참으로 도출되어야 하는 것이다. 즉, 어떤 전제를 작성하거나 작성하지 않거나에 상관없이, 항진명제라고 하는 것에 대해서는 그 증명이 가능해야 한다는 것이다. 제시한 증명에서는 1번 라인[2]의 hyp[3]로 지정되어 있는 부분이 비어있다. 즉, 없다. 그런 상태에서 퍼스의 항진명제라 하는 조건명제를 증명하는 것이다.

퍼스의 항진명제를 구성하는 것은, 결론적으로 $\rightarrow$로 연결되어 있는 부분이다. 이를 사이에 두고, 화살표의 왼쪽에는 $(p \rightarrow q)\rightarrow p$가, 오른쪽에는 $p$가 나타나고 있다. 즉, 이를 증명하기 위해서 조건인 것을 2번에서 가정[4]을 노드 2에 세우고, 그 안에서 결론으로 $p$를 얻으려는 과정을 시작한다.

3번 라인에서는 다시 $p$가 거짓이라고 가정해 본다. 그리고 12번에서 결국 모순이 되는 것을 보임으로써, 결국 $p$가 거짓이 아니어야 함을 13번 라인에서 제시한다. 그 과정에서 다음과 같은 시도들을 하게 된다.

2번 라인의 조건명제에서 결론인 부분을 3번에서 부정하였다. 즉, 조건인 부분이 부정되어 나오는 것이 당연하므로, 7번에서는 2번 명제의 조건 부분이 부정되어 있다.

8번 라인에서 $p$가 참이라고 다시 가정해 본다. 그러면 조건인 $p$가 어차피 거짓인 명제이므로, 이를 조건으로 갖는 조건명제는 어떤 것이든지 참이다. 즉, 11번 라인에서 $p \rightarrow q$가 참이라고 해도 할 말 없다는 것.

11번 라인에서 $p \rightarrow q$가 참이라고 내놓긴 했지만, 이건 7번에서 이미 거짓이라고 나와 있는 부분이다. 즉, 모순일 수 밖에 없으므로, 12번 라인에 모순이라고 표시해 둔다.

3번 라인의 가정에서부터 12번 라인의 모순이 도출되었으므로, 3번 라인의 가정은 거짓이어야 한다. 이는 $p$의 거짓이 거짓이라고 하는 것이므로, 13번 라인에서는 $p$를 참이라고 작성한다.

2번 라인의 조건, $(p \rightarrow q)\rightarrow p$으로부터 13번 라인의 결론, $p$로 도착하였다. 즉, 2번 라인의 조건은 13번 라인의 결론을 함의하고 있다. 이를 하나의 조건명제로 표현하여, 14번 라인에 다음과 같이 작성한다.

여백은 많지만 내용이 부족하므로 증명을 마친다.