복소평면상의 열린 집합에서 정의된 복소함수가 해석적 함수, 즉 미분가능한 함수이기 위한 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다.
즉, 다음 성질을 의미한다.

코시와 리만이라는 이름이 들어갔음에도 불구하고, 이 연립방정식은 유체역학을 연구하던 프랑스의 수학자 달랑베르에 의해서 처음으로 발견되었다. 코시와 리만이 복소해석학의 발전과정에서 이 방정식을 매우 유용하게 써먹었기 때문에 둘의 이름이 붙게 되었다.

함수 $f\left(z\right)=f\left(x, y\right)=u\left(x, y\right)+iv\left(x, y\right)$가 점 $z_0=x_0+iy_0=\left(x_0, y_0\right)$에서 미분 가능하다고 하자.

$z_0=x_0+iy_0$, $\Delta z=\Delta x + i \Delta y$로 점 $z_0$와 증편 $\Delta z$를 둔 뒤, 함수의 증편을 구하자.

$\displaystyle \begin{aligned}\Delta w&=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)\\&=\{u\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)\}+i\{v\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)\}\end{aligned}$
가 된다.

복소함수의 극한은 다음의 정리를 만족한다.

이때, 함수 $f(z)$의 도함수 $\displaystyle f'\left(z_0\right)={\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}}$가 존재하므로 다음이 성립한다.

$f'\left(z_0\right)=\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Re}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)+i\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Im}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)}$

여기서 이변수 함수의 미분에서 성립하는 성질을 생각하자. 즉, 점 $z=z_0+\Delta z$에서 $\Delta z=\left(\Delta x, \Delta y\right)$의 경로를 어떻게 잡아도 도함수가 존재한다면 위의 방정식은 항상 성립한다는걸 명심하자.

경로를 어떻게 잡아도 상관 없기에 다음 두 개의 경로를 선택하자.

$\left(\Delta x,0\right)\to\left(0,0\right)$
$\left(0,\Delta y\right)\to\left(0,0\right)$

각각에 대하여 다음이 성립한다.

마찬가지로,

미분 가능(=해석적)하기 위해서는 경로에 상관없이 도함수가 같아야 하므로, 복소수의 상등조건에 따라 실수 함수부와 허수 함수부가 같으면 된다. ①과 ②를 연립하자.

$f'\left(z_0\right)=u_x\left(x_0, y_0\right)+iv_x\left(x_0, y_0\right)=v_y\left(x_0, y_0\right)-iu_y\left(x_0, y_0\right)$이므로, $u_x=v_y, u_y=-v_x$일 때 두 도함수는 같게 된다.

따라서 $f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right)$가 미분가능하다면, 아래의 연립방정식을 만족한다.

$\begin{cases} \displaystyle{\partial u\over\partial x}=\displaystyle{\partial v\over\partial y}\\\displaystyle{\partial u\over\partial y}=-\displaystyle{\partial v\over\partial x}\end{cases}$