[include(틀:해석학·미적분학)] '''Cauchy–Riemann equations''' [목차] == 개요 == 복소평면상의 열린 집합에서 정의된 복소함수가 해석적 함수, 즉 '''미분가능한 함수이기 위한 필요충분조건'''인 연립 편미분 방정식이다. 즉, 다음 성질을 의미한다. ||함수 [math(f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right))]가 복소평면상의 열린 집합 [math(C)]에서 정의될 때, 이 함수가 미분 가능할(=해석적 / 정칙적일) 필요충분조건은 다음과 같다. [math(\begin{cases} \displaystyle{\partial u\over\partial x}=\displaystyle{\partial v\over\partial y}\\\displaystyle{\partial u\over\partial y}=-\displaystyle{\partial v\over\partial x}\end{cases})]|| [[오귀스탱 루이 코시|코시]]와 [[베른하르트 리만|리만]]이라는 이름이 들어갔음에도 불구하고, 이 연립방정식은 유체역학을 연구하던 프랑스의 수학자 [[달랑베르]]에 의해서 처음으로 발견되었다. 코시와 리만이 복소해석학의 발전과정에서 이 방정식을 매우 유용하게 써먹었기 때문에 둘의 이름이 붙게 되었다. == 증명 == === → === ||복소평면상의 열린 집합 [math(C)]에서 정의된 함수 [math(f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right))]가 미분 가능하다면, [math(\displaystyle u_x = v_y)], [math(\displaystyle u_y = -v_x)]를 만족한다. || 함수 [math(f\left(z\right)=f\left(x, y\right)=u\left(x, y\right)+iv\left(x, y\right))]가 점 [math(z_0=x_0+iy_0=\left(x_0, y_0\right))]에서 미분 가능하다고 하자. [math(z_0=x_0+iy_0)], [math(\Delta z=\Delta x + i \Delta y)]로 점 [math(z_0)]와 증편 [math(\Delta z)]를 둔 뒤, 함수의 증편을 구하자. [math(\displaystyle \begin{aligned}\Delta w&=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)\\&=\{u\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)\}+i\{v\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)\}\end{aligned})] 가 된다. 복소함수의 극한은 다음의 정리를 만족한다. ||[math(f\left(z\right)=u\left(x, y\right)+iv\left(x,y\right), z=x+iy, z_0=x_0+iy_0, w_0=u_0+iv_0)]이라 할 때 다음 두 식은 서로 동치이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle{\lim_{z \to z_0}f(z)=w_0} \iff \displaystyle{\lim_{\left(x,y\right) \to \left(x_0,y_0\right)}u\left(x,y\right)=u_0, \lim_{\left(x,y\right) \to \left(x_0,y_0\right)}v\left(x,y\right)=v_0})] }}}|| 이때, 함수 [math(f(z))]의 도함수 [math(\displaystyle f'\left(z_0\right)={\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}})]가 존재하므로 다음이 성립한다. [math(f'\left(z_0\right)=\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Re}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)+i\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Im}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)})] 여기서 이변수 함수의 미분에서 성립하는 성질을 생각하자. 즉, 점 [math(z=z_0+\Delta z)]에서 [math(\Delta z=\left(\Delta x, \Delta y\right))]의 경로를 어떻게 잡아도 도함수가 존재한다면 위의 방정식은 항상 성립한다는걸 명심하자. 경로를 어떻게 잡아도 상관 없기에 다음 두 개의 경로를 선택하자. [math(\left(\Delta x,0\right)\to\left(0,0\right))] [math(\left(0,\Delta y\right)\to\left(0,0\right))] 각각에 대하여 다음이 성립한다. ||[math(\left(\Delta x,0\right)\to\left(0,0\right))]에 대하여, [math(\Delta y=0)]이므로, 다음이 성립한다. [math(\displaystyle{\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{u\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}+i\frac{v\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}})] [math(\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Re}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{u\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}}=u_x\left(x_0, y_0\right))] [math(\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Im}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{v\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}}=v_x\left(x_0, y_0\right))] 이를 정리하면, [math(f'\left(z_0\right)=u_x\left(x_0, y_0\right)+iv_x\left(x_0, y_0\right))]가 된다. …①|| 마찬가지로, ||[math(\left(0, \Delta y\right)\to\left(0,0\right))]에 대하여, [math(\Delta x=0)]이므로, 다음이 성립한다. [math(\begin{aligned}\displaystyle{\frac{\Delta w}{\Delta z}}&=\displaystyle{\frac{u\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{i\Delta y}+i\frac{v\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{i\Delta y}}\\&=\displaystyle{\frac{v\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}-i\frac{u\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}}\end{aligned})] [math(\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Re}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{v\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}}=v_y\left(x_0, y_0\right))] [math(\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\left(\mathbf{Im}\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta y \to 0}-\frac{u\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}}=-u_y\left(x_0, y_0\right))] 이를 정리하면, [math(f'\left(z_0\right)=v_y\left(x_0, y_0\right)-iu_y\left(x_0, y_0\right))]가 된다. …②|| 미분 가능(=해석적)하기 위해서는 경로에 상관없이 도함수가 같아야 하므로, 복소수의 상등조건에 따라 실수 함수부와 허수 함수부가 같으면 된다. ①과 ②를 연립하자. [math(f'\left(z_0\right)=u_x\left(x_0, y_0\right)+iv_x\left(x_0, y_0\right)=v_y\left(x_0, y_0\right)-iu_y\left(x_0, y_0\right))]이므로, [math(u_x=v_y, u_y=-v_x)]일 때 두 도함수는 같게 된다. 따라서 [math(f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right))]가 미분가능하다면, 아래의 연립방정식을 만족한다. [math(\begin{cases} \displaystyle{\partial u\over\partial x}=\displaystyle{\partial v\over\partial y}\\\displaystyle{\partial u\over\partial y}=-\displaystyle{\partial v\over\partial x}\end{cases})] === ← === ||복소평면상의 열린 집합 [math(C)]에서 정의된 함수 [math(f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right))]가 [math(\displaystyle u_x = v_y)], [math(\displaystyle u_y = -v_x)]를 만족한다면, 함수 [math(f(z))]는 열린 집합 [math(C)]에서 미분 가능하다(=해석적이다, 정칙이다). || [[분류:해석학(수학)]]