條件附平均 / conditional expectation

조건부확률분포를 이용하여 조건부기댓값을 정의할 수 있다. 조건부평균이라고도 한다.

다음을 $\boldsymbol X$의 조건부기댓값이라고 한다. 정확히는 $\boldsymbol Y$가 $\boldsymbol y$로 주어질 때(알려져 있을 때)의 $\boldsymbol X$의 조건부기댓값이라고 한다.


같은 방법으로 $X$가 $x$로 주어질 때의 $Y$의 조건부기댓값도 정의할 수 있다. 주의할 점은 $E(X|Y=y)$는 $\boldsymbol y$에 관한 함수라는 사실이다.

$m(X,\;Y)$를 $X$와 $Y$의 함수라고 하면 다음이 성립한다.


나아가, 다음이 성립한다.


다시 말해 한 확률 변수의 조건부기댓값의 기댓값은 그 확률 변수의 기댓값과 같다. 이를 반복기댓값의 법칙(law of iterated expectation)이라고 한다.

[증명]

$\begin{aligned}E\{E(m(X,\;Y)|X)\}&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}E\{E(m(X,\;Y)|X)\}f_X(x)\;{\rm d}x\\&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\biggr[\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}m(x,\;y)\cdot g(y|x)\;{\rm d}y\biggr]f_X(x)\;{\rm d}x\\&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\biggr[\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}m(x,\;y)\dfrac{f(x,\;y)}{f_X(x)}\;{\rm d}y\biggr]f_X(x)\;{\rm d}x\\&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}m(x,\;y)f(x,\;y)\;{\rm d}y{\rm d}x\\&=E\{m(X,\;Y)\}\end{aligned}$

이 증명은 $X$와 $Y$가 연속확률변수일 경우이고, 이산확률변수일 경우에는 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}$를 $\displaystyle\sum_{-\infty}^{\infty}$로 바꾸기만 하면 된다.